
# Ein Fallbeispiel: Der parametrisierte Datentyp PComplex

Wir wollen als neuen numerischen Typen **komplexe Zahlen in Polardarstellung $z=r e^{i\phi}=(r,ϕ)$** einführen. 

- Der Typ soll sich in die Typhierarchie einfügen als Subtyp von 'Number'.
- $r$ und $\phi$ sollen Gleitkommazahlen sein. (Im Unterschied zu komplexen Zahlen in 'kartesischen' Koordinaten hat eine Einschränkung auf ganzzahlige Werte von r oder ϕ mathematisch wenig Sinn.)

## Die Definition von `PComplex`

Ein erster Versuch könnte so aussehen:

```{julia}
struct PComplex1{T <: AbstractFloat} <: Number
    r :: T
    ϕ :: T
end

z1 = PComplex1(-32.0, 33.0)
z2 = PComplex1{Float32}(12, 13)
@show z1 z2;
```

Julia stellt automatisch *default constructors* zur Verfügung:

- den Konstruktor `PComplex1`, bei dem der Typ `T` von den übergebenen Argumenten abgeleitet wird und
- Konstruktoren `PComplex{Float64},...` mit expliziter Typangabe. Hier wird versucht, die Argumente in den angeforderten Typ zu konvertieren. 

------

Wir wollen nun, dass der Konstruktor noch mehr tut. 
In der Polardarstellung soll $0\le r$ und $0\le \phi<2\pi$ gelten.

Wenn die übergebenen Argumente das nicht erfüllen, sollten sie entsprechend umgerechnet werden.

Dazu definieren wir einen _inner constructor_, der den _default constructor_ ersetzt.

- Ein _inner constructor_ ist eine Funktion innerhalb der `struct`-Definition.
- In einem _inner constructor_ kann man die spezielle Funktion `new` verwenden, die wie der _default constructor_ wirkt.


```{julia}
struct PComplex{T <: AbstractFloat} <: Number
    r :: T
    ϕ :: T

    function PComplex{T}(r::T, ϕ::T) where T<:AbstractFloat
        if r<0            # flip the sign of r and correct phi
            r = -r
            ϕ += π
        end
        if r==0 ϕ=0 end  # normalize r=0 case to phi=0 
        ϕ = mod(ϕ, 2π)   # map phi into interval [0,2pi)
        new(r, ϕ)        # new() ist special function,
    end                  #   available only inside inner constructors

end
```

```{julia}
#| echo: false
#| output: false

#=
in den ganzen quarto-runs wollen bir hier noch das default-show benutzen
=#
zz = @which Base.show(stdout, PComplex{Float64}(2.,3.))
if zz.module != Base
    Base.delete_method(zz)
end
```
```{julia}
z1 = PComplex{Float64}(-3.3, 7π+1)
```
Für die explizite Angabe eines *inner constructors*  müssen wir allerdings einen Preis zahlen: Die sonst von Julia bereitgestellten *default constructors* fehlen.  

Den Konstruktor, der  ohne explizite Typangabe in geschweiften Klammern auskommt und den Typ der Argumente übernimmt, wollen wir gerne auch haben:

```{julia}
PComplex(r::T, ϕ::T) where {T<:AbstractFloat} = PComplex{T}(r,ϕ)

z2 = PComplex(2.0, 0.3)
```


## Eine neue Schreibweise

Julia verwendet `//` als Infix-Konstruktor für den Typ `Rational`. Sowas Schickes wollen wir auch.  

In der Elektronik/Elektrotechnik werden [Wechselstromgrößen durch komplexe Zahlen beschrieben.](https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Wechselstromrechnung). Dabei ist eine Darstellung komplexer Zahlen durch "Betrag" und "Phase" üblich und sie wird gerne in der sogenannten [Versor-Form](https://de.wikipedia.org/wiki/Versor)  (engl. *phasor*) dargestellt:
$$
 z= r\enclose{phasorangle}{\phi} = 3.4\;\enclose{phasorangle}{45^\circ}
$$
wobei man in der Regel den Winkel in Grad notiert.  

:::{.callout-note .titlenormal collapse="true"}

## Mögliche Infix-Operatoren in Julia

In Julia ist eine große Anzahl von Unicode-Zeichen reserviert für die Verwendung als Operatoren. Die definitive Liste ist im [Quellcode des Parsers.](https://github.com/JuliaLang/julia/blob/eaa2c58aeb12f27c1d8c116ab111773a4fc4495f/src/julia-parser.scm#L13-L31)

Auf Details  werden wir in einem späteren Kapitel noch eingehen. 

Und ja, der Julia-Parser ist in einem Lisp(genauer: Scheme)-Dialekt geschrieben. In Julia ist ein kleiner Scheme-Interpreter namens [femtolisp](https://github.com/JeffBezanson/femtolisp) integriert. Geschrieben hat ihn einer der "Väter" von Julia bevor er mit der Arbeit an Julia begann.  

:::

Das Winkel-Zeichen `∠` steht leider nicht als Operatorsymbol zur Verfügung. Wir weichen aus auf `⋖`. Das kann in Julia als  als `\lessdot<tab>` eingegeben werden.

```{julia}
 ⋖(r::Real, ϕ::Real) = PComplex(r, π*ϕ/180)

z3 = 2. ⋖ 90.
```
(Die Typ-Annotation -- `Real` statt `AbstractFloat` -- ist ein Vorgriff auf kommende weitere Konstruktoren. Im Moment funktioniert der Operator `⋖` erstmal nur mit `Float`s.)


Natürlich wollen wir auch die Ausgabe so schön haben. Details dazu findet man in der [Dokumentation](https://docs.julialang.org/en/v1/manual/types/#man-custom-pretty-printing).

```{julia}
using Printf

function Base.show(io::IO, z::PComplex)
    # wir drucken die Phase in Grad, auf Zehntelgrad gerundet, 
    p = z.ϕ * 180/π
    sp = @sprintf "%.1f" p
    print(io, z.r, "⋖", sp, '°')
end

@show z3;
```


## Methoden für `PComplex`

Damit unser Typ ein anständiges Mitglied der von `Number` abstammenden Typfamilie wird, brauchen wir allerdings noch eine ganze Menge mehr. Es müssen Arithmetik, Vergleichsoperatoren, Konvertierungen usw. definiert werden. 


Wir beschränken uns auf  Multiplikation und Quadratwurzeln.


:::{.callout-note collapse="true"}
## Module 

- Um die `methods` der existierenden Funktionen und Operationen zu ergänzen, muss man diese mit ihrem 'vollen Namen' ansprechen.
- Alle Objekte gehören zu einem Namensraum oder `module`.
- Die meisten Basisfunktionen gehören zum Modul `Base`, welches standardmäßig immer ohne explizites `using ...` geladen wird. 
- Solange man keine eigenen Module definiert, sind die eigenen Definitionen im Modul `Main`.
- Das Macro `@which`, angewendet auf einen Namen, zeigt an, in welchem Modul der Name definiert wurde. 

```{julia}
f(x) = 3x^3
@which f
```

```{julia}
wp = @which +
ws = @which(sqrt)
println("Modul für Addition: $wp, Modul für sqrt: $ws")
```

:::

```{julia}
qwurzel(z::PComplex) = PComplex(sqrt(z.r), z.ϕ / 2)
``` 

```{julia}
#| echo: false
#| output: false

#=
damit das length(methods(sqrt)) klappt
=#
if hasmethod(sqrt, (PComplex,))
    zz = @which Base.sqrt(PComplex{Float64}(1.,1.))
    Base.delete_method(zz)
end
```

Die Funktion `sqrt()` hat schon einige Methoden:
```{julia}
length(methods(sqrt))
```

Jetzt wird es eine Methode mehr:
```{julia}
Base.sqrt(z::PComplex) = qwurzel(z)

length(methods(sqrt))
```

```{julia}
sqrt(z2)
```

und nun zur Multiplikation:

```{julia}
Base.:*(x::PComplex, y::PComplex) = PComplex(x.r * y.r, x.ϕ + y.ϕ)

@show z1 * z2;
```
(Da das Operatorsymbol kein normaler Name ist, muss der Doppelpunkt bei der Zusammensetzung mit `Base.` sein.)

Wir können allerdings noch nicht mit anderen numerischen Typen multiplizieren. Dazu könnte man nun eine Vielzahl von entsprechenden Methoden definieren. Julia stellt *für numerische Typen* noch einen weiteren Mechanismus zur Verfügung, der das etwas vereinfacht.


## Typ-Promotion und Konversion 

In Julia kann man bekanntlich die verschiedensten numerischen Typen nebeneinander verwenden.

```{julia}
1//3 + 5 + 5.2 + 0xff
```
Wenn man in die zahlreichen Methoden schaut, die z.B. für `+` und `*` definiert sind, findet man u.a. eine Art 'catch-all-Definition'

```julia
+(x::Number, y::Number) = +(promote(x,y)...)
*(x::Number, y::Number) = *(promote(x,y)...)
```



(Die 3 Punkte sind der splat-Operator, der das von promote() zurückgegebene Tupel wieder in seine Bestandteile zerlegt.)

Da die Methode mit den Typen `(Number, Number)` sehr allgemein ist, wird sie erst verwendet, wenn spezifischere Methoden nicht greifen.

Was passiert hier?

### Die Funktion `promote(x,y,...)`

Diese Funktion versucht, alle Argumente in einen gemeinsamen Typen umzuwandeln, der alle Werte (möglichst) exakt darstellen kann.

```{julia}
promote(12, 34.555, 77/99, 0xff)
```

```{julia}
z = promote(BigInt(33), 27)
@show z typeof(z);
```

Die Funktion `promote()` verwendet dazu zwei Helfer, die Funktionen
 `promote_type(T1, T2)` und  `convert(T, x)`

Wie üblich in Julia, kann man diesen Mechanismus durch [eigene *promotion rules* und `convert(T,x)`-Methoden erweitern.](https://docs.julialang.org/en/v1/manual/conversion-and-promotion/) 


### Die Funktion `promote_type(T1, T2,...)` 

Sie ermittelt, zu welchem Typ umgewandelt werden soll. Argumente sind Typen, nicht Werte.

```{julia}
@show promote_type(Rational{Int64}, ComplexF64, Float32);
```



### Die Funktion `convert(T,x)`

Die Methoden von 
`convert(T, x)` wandeln `x` in ein Objekt vom Typ `T` um. Dabei sollte eine solche Umwandlung verlustfrei möglich sein.

```{julia}
z = convert(Float64, 3)
```

```{julia}
z = convert(Int64, 23.00)
```

```{julia}
z = convert(Int64, 2.3)
```

Die spezielle Rolle von `convert()` liegt darin, dass es an verschiedenen Stellen _implizit_ und automatisch eingesetzt wird: 

> [The following language constructs call convert](https://docs.julialang.org/en/v1/manual/conversion-and-promotion/#When-is-convert-called?):
> 
  - Assigning to an array converts to the array's element type.
  - Assigning to a field of an object converts to the declared type of the field.
  - Constructing an object with new converts to the object's declared field types.
  - Assigning to a variable with a declared type (e.g. local x::T) converts to that type.
  - A function with a declared return type converts its return value to that type.

-- und natürlich in `promote()`

Für selbstdefinierte Datentypen kann man convert() um weitere Methoden ergänzen.

Für Datentypen innerhalb der Number-Hierarchie gibt es wieder eine 'catch-all-Definition'
```julia
convert(::Type{T}, x::Number) where {T<:Number} = T(x)
```

Also: Wenn für einen Typen `T` aus der Hierarchie `T<:Number` ein Konstruktor `T(x)` mit einem numerischen Argument `x` existiert, dann wird dieser Konstruktor `T(x)` automatisch für Konvertierungen benutzt. (Natürlich können auch speziellere Methoden für `convert()` definiert werden, die dann Vorrang haben.)


### Weitere Konstruktoren für `PComplex`


```{julia}

## (a) r, ϕ beliebige Reals, z.B.  Integers, Rationals

PComplex{T}(r::T1, ϕ::T2) where {T<:AbstractFloat, T1<:Real, T2<: Real} = 
    PComplex{T}(convert(T, r), convert(T, ϕ))

PComplex(r::T1, ϕ::T2) where {T1<:Real, T2<: Real} =  
    PComplex{promote_type(Float64, T1, T2)}(r, ϕ)   

## (b) Zur Umwandlung von Reals: Konstruktor mit 
##      nur einem Argument r

PComplex{T}(r::S) where {T<:AbstractFloat, S<:Real} = 
    PComplex{T}(convert(T, r), convert(T, 0)) 

PComplex(r::S)  where {S<:Real} = 
    PComplex{promote_type(Float64, S)}(r, 0.0)

## (c) Umwandlung Complex -> PComplex

PComplex{T}(z::Complex{S}) where {T<:AbstractFloat, S<:Real} = 
    PComplex{T}(abs(z), angle(z))

PComplex(z::Complex{S}) where {S<:Real} = 
    PComplex{promote_type(Float64, S)}(abs(z), angle(z))


```


Ein Test der neuen Konstruktoren:

```{julia}

3//5 ⋖ 45,  PComplex(Complex(1,1)),   PComplex(-13) 

```


Wir brauchen nun noch *promotion rules*, die festlegen, welcher Typ bei `promote(x::T1, y::T2)` herauskommen soll. Damit wird `promote_type()` intern um die nötigen weiteren Methoden erweitert. 

### *Promotion rules* für `PComplex`


```{julia}
Base.promote_rule(::Type{PComplex{T}}, ::Type{S}) where {T<:AbstractFloat,S<:Real} = 
    PComplex{promote_type(T,S)}

Base.promote_rule(::Type{PComplex{T}}, ::Type{Complex{S}}) where 
    {T<:AbstractFloat,S<:Real} = PComplex{promote_type(T,S)}
```
1. Regel:
: Wenn ein `PComplex{T}` und ein `S<:Real` zusammentreffen, dann sollen beide zu `PComplex{U}` umgewandelt werden, wobei `U` der Typ ist, zu dem  `S` und `T` beide umgewandelt (_promoted_) werden können. 

2. Regel
: Wenn ein `PComplex{T}` und ein `Complex{S}` zusammentreffen, dann sollen beide zu `PComplex{U}` umgewandelt werden, wobei `U` der Typ ist, zu dem  `S` und `T` beide umgewandelt werden können. 



Damit klappt nun die Multiplikation mit beliebigen numerischen Typen.

```{julia}
z3, 3z3
```

```{julia}
(3.0+2im) * (12⋖30.3),  12sqrt(z2) 
```



:::{.callout-caution icon="false" collapse="true" .titlenormal}

## Zusammenfassung: unser Typ `PComplex`

```julia
struct PComplex{T <: AbstractFloat} <: Number
    r :: T
    ϕ :: T

    function PComplex{T}(r::T, ϕ::T) where T<:AbstractFloat
        if r<0            # flip the sign of r and correct phi
            r = -r
            ϕ += π
        end
        if r==0 ϕ=0 end  # normalize r=0 case to phi=0 
        ϕ = mod(ϕ, 2π)   # map phi into interval [0,2pi)
        new(r, ϕ)        # new() ist special function,
    end                  #   available only inside inner constructors

end

# additional constructors
PComplex(r::T, ϕ::T) where {T<:AbstractFloat} = PComplex{T}(r,ϕ)


PComplex{T}(r::T1, ϕ::T2) where {T<:AbstractFloat, T1<:Real, T2<: Real} = 
    PComplex{T}(convert(T, r), convert(T, ϕ))

PComplex(r::T1, ϕ::T2) where {T1<:Real, T2<: Real} =  
    PComplex{promote_type(Float64, T1, T2)}(r, ϕ)   


PComplex{T}(r::S) where {T<:AbstractFloat, S<:Real} = 
    PComplex{T}(convert(T, r), convert(T, 0)) 

PComplex(r::S)  where {S<:Real} = 
    PComplex{promote_type(Float64, S)}(r, 0.0)


PComplex{T}(z::Complex{S}) where {T<:AbstractFloat, S<:Real} = 
    PComplex{T}(abs(z), angle(z))

PComplex(z::Complex{S}) where {S<:Real} = 
    PComplex{promote_type(Float64, S)}(abs(z), angle(z))

# nice input
⋖(r::Real, ϕ::Real) = PComplex(r, π*ϕ/180)

# nice output
using Printf

function Base.show(io::IO, z::PComplex)
    # wir drucken die Phase in Grad, auf Zehntelgrad gerundet, 
    p = z.ϕ * 180/π
    sp = @sprintf "%.1f" p
    print(io, z.r, "⋖", sp, '°')
end

# arithmetic
Base.sqrt(z::PComplex) = PComplex(sqrt(z.r), z.ϕ / 2)

Base.:*(x::PComplex, y::PComplex) = PComplex(x.r * y.r, x.ϕ + y.ϕ)

# promotion rules
Base.promote_rule(::Type{PComplex{T}}, ::Type{S}) where 
    {T<:AbstractFloat,S<:Real} = PComplex{promote_type(T,S)}

Base.promote_rule(::Type{PComplex{T}}, ::Type{Complex{S}}) where 
    {T<:AbstractFloat,S<:Real} = PComplex{promote_type(T,S)}
```
:::

:::{.content-hidden unless-format="xxx"}

Jetzt geht sowas wie `PComplex(1, 0)` noch nicht. Wir wollen auch andere reelle Typen für `r` und `ϕ` zulassen. Der Einfachheit halber wandeln wir hier alles nach `Float64` um. Analog verfahren wir auch, wenn nur ein reelles oder komplexes Argument verwendet wird.

```julia
PComplex(r::Real, ϕ::Real) = PComplex(Float64(r), Float64(ϕ))
PComplex(r::Real)          = PComplex(Float64(r), 0.0)
PComplex(z::Complex)       = PComplex(abs(z), angle(z))

z3 = PComplex(-2); z4 = PComplex(3im)
@show z3 z4;
```

:::
