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engine: julia
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```{julia}
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#| error: false
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#| echo: false
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#| output: false
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using InteractiveUtils
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```
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# Ein Beispiel zur Stabilität von Gleitkommaarithmetik
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## Berechnung von $\pi$ nach Archimedes
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Eine untere Schranke für $2\pi$, den Umfang des Einheitskreises, erhält man durch die
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Summe der Seitenlängen eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen $n$-Ecks.
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Die Abbildung links zeigt, wie man beginnend mit einem Viereck der Seitenlänge $s_4=\sqrt{2}$ die Eckenzahl iterativ verdoppelt.
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:::{.narrow}
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| Abb. 1 | Abb.2 |
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| :-: | :-: |
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: {tbl-colwidths="[57,43]"}
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:::
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Die zweite Abbildung zeigt die Geometrie der Eckenverdoppelung.
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Mit
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$|\overline{AC}|= s_{n},\quad |\overline{AB}|= |\overline{BC}|= s_{2n},\quad |\overline{MN}| =a, \quad |\overline{NB}| =1-a,$ liefert Pythagoras für die Dreiecke $MNA$ und
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$NBA$ jeweils
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$$
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a^2 + \left(\frac{s_{n}}{2}\right)^2 = 1\qquad\text{bzw.} \qquad
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(1-a)^2 + \left(\frac{s_{n}}{2}\right)^2 = s_{2n}^2
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$$
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Elimination von $a$ liefert die Rekursion
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$$
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s_{2n} = \sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}} \qquad\text{mit Startwert}\qquad
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s_4=\sqrt{2}
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$$
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für die Länge $s_n$ **einer** Seite des eingeschriebenen regelmäßigen
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$n$-Ecks.
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Die Folge $(n\cdot s_n)$
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konvergiert monoton von unten gegen den
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Grenzwert $2\pi$:
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$$
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n\, s_n \rightarrow 2\pi % \qquad\text{und} \qquad {n c_n}\downarrow 2\pi
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$$
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Der relative Fehler der Approximation von 2π durch ein $n$-Eck ist:
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$$
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\epsilon_n = \left| \frac{n\, s_n-2 \pi}{2\pi} \right|
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$$
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## Zwei Iterationsvorschriften^[nach: Christoph Überhuber, „Computer-Numerik“ Bd. 1, Springer 1995, Kap. 2.3]
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Die Gleichung
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$$
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s_{2n} = \sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}\qquad \qquad \textrm{(Iteration A)}
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$$
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ist mathematisch äquivalent zu
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$$
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s_{2n} = \frac{s_n}{\sqrt{2+\sqrt{4-s_n^2}}} \qquad \qquad \textrm{(Iteration B)}
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$$
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(Bitte nachrechnen!)
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Allerdings ist Iteration A schlecht konditioniert und numerisch instabil, wie der folgende Code zeigt. Ausgegeben wird die jeweils berechnete Näherung für π.
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```{julia}
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using Printf
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iterationA(s) = sqrt(2 - sqrt(4 - s^2))
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iterationB(s) = s / sqrt(2 + sqrt(4 - s^2))
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s_B = s_A = sqrt(2) # Startwert
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ϵ(x) = abs(x - 2π)/2π # rel. Fehler
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ϵ_A = Float64[] # Vektoren für den Plot
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ϵ_B = Float64[]
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is = Float64[]
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@printf """ approx. Wert von π
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n-Eck Iteration A Iteration B
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"""
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for i in 3:35
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push!(is, i)
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s_A = iterationA(s_A)
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s_B = iterationB(s_B)
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doublePi_A = 2^i * s_A
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doublePi_B = 2^i * s_B
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push!(ϵ_A, ϵ(doublePi_A))
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push!(ϵ_B, ϵ(doublePi_B))
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@printf "%14i %20.15f %20.15f\n" 2^i doublePi_A/2 doublePi_B/2
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end
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```
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Während Iteration B sich stabilisiert bei einem innerhalb der Maschinengenauigkeit korrekten Wert für π, wird Iteration A schnell instabil. Ein Plot der relativen Fehler $\epsilon_i$ bestätigt das:
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```{julia}
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using PlotlyJS
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layout = Layout(xaxis_title="Iterationsschritte", yaxis_title="rel. Fehler",
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yaxis_type="log", yaxis_exponentformat="power",
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xaxis_tick0=2, xaxis_dtick=2)
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plot([scatter(x=is, y=ϵ_A, mode="markers+lines", name="Iteration A", yscale=:log10),
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scatter(x=is, y=ϵ_B, mode="markers+lines", name="Iteration B", yscale=:log10)],
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layout)
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```
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## Stabilität und Auslöschung
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Bei $i=26$ erreicht Iteration B einen relativen Fehler in der Größe des Maschinenepsilons:
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```{julia}
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ϵ_B[22:28]
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```
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Weitere Iterationen verbessern das Ergebnis nicht mehr. Sie stabilisieren sich bei einem relativen Fehler von etwa 2.5 Maschinenepsilon:
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```{julia}
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ϵ_B[end]/eps(Float64)
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```
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Die Form Iteration A ist instabil. Bereits bei $i=16$ beginnt der relative Fehler wieder zu wachsen.
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Ursache ist eine typische Auslöschung. Die Seitenlängen $s_n$ werden sehr schnell klein. Damit ist
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$a_n=\sqrt{4-s_n^2}$ nur noch wenig kleiner als 2 und bei der Berechnung von $s_{2n}=\sqrt{2-a_n}$ tritt ein typischer Auslöschungseffekt auf.
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```{julia}
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setprecision(80) # precision für BigFloat
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s = sqrt(BigFloat(2))
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@printf " a = √(4-s^2) als BigFloat und als Float64\n\n"
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for i = 3:44
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s = iterationA(s)
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x = sqrt(4-s^2)
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if i > 20
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@printf "%i %30.26f %20.16f \n" i x Float64(x)
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end
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end
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```
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Man sieht die Abnahme der Zahl der signifikanten Ziffern. Man sieht auch, dass eine Verwendung von `BigFloat` mit einer Mantissenlänge von hier 80 Bit das Einsetzen des Auslöschungseffekts nur etwas hinaussschieben kann.
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**Gegen instabile Algorithmen helfen in der Regel nur bessere, stabile Algorithmen und nicht genauere Maschinenzahlen!**
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:::{.content-hidden unless-format="xxx"}
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Offensichtlich tritt bei der Berechnung von $2-a_n$ bereits relativ früh
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eine Abnahme der Anzahl der signifikanten Ziffern (Auslöschung) auf,
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bevor schließlich bei der Berechnung von $a_n=\sqrt{4-s_n^2}$
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selbst schon Auslöschung zu einem unbrauchbaren Ergebnis führt.
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::: |