JuliaKurs23/nb/Pi.ipynb
2023-05-12 20:12:56 +02:00

234 lines
7.3 KiB
Plaintext

{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0b96655f",
"metadata": {},
"source": [
"# Ein Beispiel zur Stabilität von Gleitkommaarithmetik\n",
"\n",
"## Berechnung von $\\pi$ nach Archimedes\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"Eine untere Schranke für $2\\pi$, den Umfang des Einheitskreises, erhält man durch die\n",
"Summe der Seitenlängen eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen $n$-Ecks.\n",
" Die Abbildung links zeigt, wie man beginnend mit einem Viereck der Seitenlänge $s_4=\\sqrt{2}$ die Eckenzahl iterativ verdoppelt.\n",
"\n",
"| Abb. 1 | Abb.2 |\n",
"| :-: | :-: |\n",
"| ![](../images/pi1.png) | ![](../images/pi2.png) |\n",
"\n",
"Die zweite Abbildung zeigt die Geometrie der Eckenverdoppelung.\n",
"\n",
"Mit\n",
"$|\\overline{AC}|= s_{n},\\quad |\\overline{AB}|= |\\overline{BC}|= s_{2n},\\quad |\\overline{MN}| =a, \\quad |\\overline{NB}| =1-a,$ liefert Pythagoras für die Dreiecke $MNA$ und\n",
" $NBA$ jeweils\n",
"$$\n",
" a^2 + \\left(\\frac{s_{n}}{2}\\right)^2 = 1\\qquad\\text{bzw.} \\qquad\n",
" (1-a)^2 + \\left(\\frac{s_{n}}{2}\\right)^2 = s_{2n}^2\n",
"$$\n",
"Elimination von $a$ liefert die Rekursion\n",
"$$\n",
" s_{2n} = \\sqrt{2-\\sqrt{4-s_n^2}} \\qquad\\text{mit Startwert}\\qquad\n",
" s_4=\\sqrt{2}\n",
"$$\n",
"für die Länge $s_n$ **einer** Seite des eingeschriebenen regelmäßigen\n",
"$n$-Ecks.\n",
"\n",
"\n",
"Die Folge $(n\\cdot s_n)$\n",
"konvergiert monoton von unten gegen den\n",
"Grenzwert $2\\pi$:\n",
"$$\n",
" n\\, s_n \\rightarrow 2\\pi % \\qquad\\text{und} \\qquad {n c_n}\\downarrow 2\\pi\n",
"$$\n",
"Der relative Fehler der Approximation von 2π durch ein $n$-Eck ist:\n",
"$$\n",
" \\epsilon_n = \\left| \\frac{n\\, s_n-2 \\pi}{2\\pi} \\right|\n",
"$$\n",
"\n",
"\n",
"## Zwei Iterationsvorschriften^[nach: Christoph Überhuber, „Computer-Numerik“ Bd. 1, Springer 1995, Kap. 2.3]\n",
"Die Gleichung\n",
"$$\n",
" s_{2n} = \\sqrt{2-\\sqrt{4-s_n^2}}\\qquad \\qquad \\textrm{(Iteration A)}\n",
"$$\n",
"ist mathematisch äquivalent zu\n",
"$$\n",
" s_{2n} = \\frac{s_n}{\\sqrt{2+\\sqrt{4-s_n^2}}} \\qquad \\qquad \\textrm{(Iteration B)}\n",
"$$\n",
"\n",
"(Bitte nachrechnen!) \n",
"\n",
"\n",
"\n",
"Allerdings ist Iteration A schlecht konditioniert und numerisch instabil, wie der folgende Code zeigt. Ausgegeben wird die jeweils berechnete Näherung für π.\n"
]
},
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"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"id": "fa3be89a",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"using Printf\n",
"\n",
"iterationA(s) = sqrt(2 - sqrt(4 - s^2))\n",
"iterationB(s) = s / sqrt(2 + sqrt(4 - s^2))\n",
"\n",
"s_B = s_A = sqrt(2) # Startwert \n",
"\n",
"ϵ(x) = abs(x - 2π)/2π # rel. Fehler \n",
"\n",
"ϵ_A = Float64[] # Vektoren für den Plot\n",
"ϵ_B = Float64[]\n",
"is = Float64[]\n",
"\n",
"@printf \"\"\" approx. Wert von π\n",
" n-Eck Iteration A Iteration B\n",
"\"\"\"\n",
"\n",
"for i in 3:35\n",
" push!(is, i)\n",
" s_A = iterationA(s_A) \n",
" s_B = iterationB(s_B) \n",
" doublePi_A = 2^i * s_A\n",
" doublePi_B = 2^i * s_B\n",
" push!(ϵ_A, ϵ(doublePi_A))\n",
" push!(ϵ_B, ϵ(doublePi_B))\n",
" @printf \"%14i %20.15f %20.15f\\n\" 2^i doublePi_A/2 doublePi_B/2 \n",
"end"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7ce50a85",
"metadata": {},
"source": [
"Während Iteration B sich stabilisiert bei einem innerhalb der Maschinengenauigkeit korrekten Wert für π, wird Iteration A schnell instabil. Ein Plot der relativen Fehler $\\epsilon_i$ bestätigt das:\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"id": "5004b70e",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"using CairoMakie\n",
"\n",
"F = Figure(resolution=(800,500))\n",
"ax = Axis(F[1, 1], xlabel = \"Iterationsschritte\", ylabel = \"rel. Fehler\",\n",
" yscale = log10, xticks=2:2:35, yticks=LogTicks(-20:0))\n",
"\n",
"scatterlines!(ax, is, ϵ_A, label = \"Iteration A\" )\n",
"scatterlines!(ax, is, ϵ_B, marker=:xcross, label = \"Iteration B\" )\n",
"\n",
"axislegend(position=:rc)\n",
"F"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7a93c5e3",
"metadata": {},
"source": [
"## Stabilität und Auslöschung\n",
"\n",
"Bei $i=26$ erreicht Iteration B einen relativen Fehler in der Größe des Maschinenepsilons:\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"id": "527eee0e",
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"outputs": [],
"source": [
"ϵ_B[22:28]"
]
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"cell_type": "markdown",
"id": "6f2f4475",
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"source": [
"Weitere Iterationen verbessern das Ergebnis nicht mehr. Sie stabilisieren sich bei einem relativen Fehler von etwa 2.5 Maschinenepsilon:\n"
]
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"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"id": "3b2a8b77",
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"outputs": [],
"source": [
"ϵ_B[end]/eps(Float64)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6ff2d4b8",
"metadata": {},
"source": [
"Die Form Iteration A ist instabil. Bereits bei $i=16$ beginnt der relative Fehler wieder zu wachsen.\n",
"\n",
"Ursache ist eine typische Auslöschung. Die Seitenlängen $s_n$ werden sehr schnell klein. Damit ist\n",
"$a_n=\\sqrt{4-s_n^2}$ nur noch wenig kleiner als 2 und bei der Berechnung von $s_{2n}=\\sqrt{2-a_n}$ tritt ein typischer Auslöschungseffekt auf.\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"id": "ca6c5ca2",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"setprecision(80) # precision für BigFloat\n",
"\n",
"s = sqrt(BigFloat(2))\n",
"\n",
"@printf \" a = √(4-s^2) als BigFloat und als Float64\\n\\n\"\n",
"\n",
"for i = 3:44\n",
" s = iterationA(s)\n",
" x = sqrt(4-s^2)\n",
" if i > 20\n",
" @printf \"%i %30.26f %20.16f \\n\" i x Float64(x)\n",
" end \n",
"end\n"
]
},
{
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"id": "5e4994b3",
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"source": [
"Man sieht die Abnahme der Zahl der signifikanten Ziffern. Man sieht auch, dass eine Verwendung von `BigFloat` mit einer Mantissenlänge von hier 80 Bit das Einsetzen des Auslöschungseffekts nur etwas hinaussschieben kann. \n",
"\n",
"**Gegen instabile Algorithmen helfen in der Regel nur bessere, stabile Algorithmen und nicht genauere Maschinenzahlen!**\n",
"\n",
":::{.content-hidden unless-format=\"xxx\"}\n",
"\n",
"Offensichtlich tritt bei der Berechnung von $2-a_n$ bereits relativ früh\n",
"eine Abnahme der Anzahl der signifikanten Ziffern (Auslöschung) auf, \n",
"bevor schließlich bei der Berechnung von $a_n=\\sqrt{4-s_n^2}$ \n",
"selbst schon Auslöschung zu einem unbrauchbaren Ergebnis führt.\n",
"\n",
":::"
]
}
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"display_name": "Julia 1.8.5",
"language": "julia",
"name": "julia-1.8"
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