From 02f4e9c514fdb522a66a0528f647b19da3abb8c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: raj_mathe <raj.dahya@math.uni-leipzig.de>
Date: Wed, 20 Apr 2022 11:38:11 +0200
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+%% ********************************************************************************
+%% AUTHOR:     Raj Dahya
+%% CREATED:    19.04.2022
+%% DATE:       SoSe, 2022
+%% YEAR:       2022
+%% TYPE:       Notes
+%% TITLE:      Notizen
+%% DOI:        —
+%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
+%% INSTITUTE:  Universität Leipzig
+%% ********************************************************************************
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+%% ********************************************************************************
+%% DOCUMENT STRUCTURE:
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+\begin{document}
+\startdocumentlayoutoptions
+
+%% FRONTMATTER
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: front/index.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\maketitle
+\clearpage
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: front/foreword.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\section*{Vorwort}
+
+\bgroup
+\small
+In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der mittwochs Übungsgruppe für Analysis II / Sommersemester 2022 an der Universität Leipzig.
+\egroup
+
+%% ********** END OF FILE: front/foreword.tex **********
+
+\clearpage
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: front/contents.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\bgroup
+\small
+\setcounter{tocdepth}{3}
+\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
+
+    \tableofcontents
+\egroup
+
+%% ********** END OF FILE: front/contents.tex **********
+
+\clearpage
+
+%% ********** END OF FILE: front/index.tex **********
+
+%% BODY
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/index.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\setcounterafter{chapter}{3}
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/woche3/index.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\let\oldchaptername\chaptername
+\def\chaptername{Woche}
+\chapter[20. April 2022]{20. April 2022}
+\let\chaptername\oldchaptername
+\label{ch:1}
+
+\setcounterafter{section}{1}
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/woche3/A1.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\let\oldsectionname\sectionname
+\def\sectionname{Aufgabe}
+\section[]{}
+\let\sectionname\oldsectionname
+\label{sec:2}
+
+Für diese Aufgabe seien gegeben:
+
+\begin{kompaktitem}
+    \item $a<b$ in $\reals$;
+    \item $f,g:[a,b]\to\reals$
+        mit $g$ Riemann-integrierbar,
+        $g\geq 0$ überall, und $f$ stetig.
+\end{kompaktitem}
+
+Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL).
+
+\begin{schattierteboxdunn}
+\begin{claim}
+\setblocklabel{claim:1:ex:3.1}
+    Es existiert ein $\xi\in[a,b]$
+    so dass ${
+        \int_{a}^{b} fg \dee x
+        = f(\xi) \int_{a}^{b} g \dee x
+    }$
+\end{claim}
+\end{schattierteboxdunn}
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
+        Da $[a,b]$ kompakt ist und $f$ stetig ist,
+        realisiert $f$ sein Infimum und Supremum auf $[a,b]$.
+        \Dh es existieren $x_{-},x_{+}\in[a,b]$, so dass
+
+            \begin{maths}[mc]{rcccl}
+                M_{-}
+                    &\coloneq
+                        &\inf_{x\in[a,b]}f(x)
+                        &= &f(x_{-})\in\reals,\\
+                M_{+}
+                    &\coloneq
+                        &\sup_{x\in[a,b]}f(x)
+                        &= &f(x_{+})\in\reals.\\
+            \end{maths}
+
+        Also $-\infty < M_{-} \leq f(x) \leq M_{+} < \infty$
+        für alle $x\in[a,b]$.
+        Per Monotonie des Integrals und da $g\geq 0$ und $f$ sowie konstante Funktionen Riemann-integrierbar sind,
+        gilt
+
+            \begin{maths}[mc]{rcccl}
+            \eqtag[eq:2:\beweislabel]
+                \underbrace{
+                    \int_{a}^{b} M_{-}g \dee x
+                }_{M_{-}\int_{a}^{b} g \dee x =}
+                &\leq
+                    &\int_{a}^{b} fg \dee x
+                &\leq &\underbrace{
+                    \int_{a}^{b} M_{+}g \dee x
+                }_{= M_{+}\int_{a}^{b} g \dee x}.\\
+            \end{maths}
+
+        Da $g\geq 0$ überall, gilt $\int_{a}^{b} g \dee x \geq 0$.
+        Falls $\int_{a}^{b} g \dee x > 0$,
+        können wir in \eqcref{eq:2:\beweislabel} überall durch diese Zahl teilen
+        und erhalten
+            ${%
+                c \coloneq
+                    \frac{\int_{a}^{b} fg \dee x}{\int_{a}^{b} g \dee x}
+                \in [M_{-},M_{+}]
+            }$.
+        Falls ${\int_{a}^{b} g \dee x = 0}$,
+        dann folgt aus der \obenst Einschätzungen
+            ${0\leq \int_{a}^{b} fg \dee x \leq 0}$
+        und damit ${\int_{a}^{b} fg \dee x = 0}$.
+        In diesem Falle setzen wir ein beliebiges $c \in [M_{-},M_{+}]$.
+        In beiden Fällen sieht man
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+            \eqtag[eq:3:\beweislabel]
+                \int_{a}^{b} fg \dee x
+                &= &c\cdot \int_{a}^{b} g \dee x\\
+            \end{maths}
+
+        für ein $c\in[M_{-},M_{+}]$.
+        Da $f$ stetig ist und die Werte $M_{-},M_{+}$ realisiert,
+        existiert laut des ZWS ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=c$.
+        Eingesetzt in \eqcref{eq:3:\beweislabel}
+        erhalten wir die Behauptung.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+%% ********** END OF FILE: body/woche3/A1.tex **********
+
+\setcounterafter{section}{4}
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/woche3/A4.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\let\oldsectionname\sectionname
+\def\sectionname{Aufgabe}
+\section[]{}
+\let\sectionname\oldsectionname
+\label{sec:3}
+
+Für diese Aufgabe seien gegeben:
+
+\begin{kompaktitem}
+    \item $a<b$ in $\reals$;
+    \item $w:[a,b]\to[0,\infty)$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
+\end{kompaktitem}
+
+\begin{schattierteboxdunn}
+\begin{claim}
+\setblocklabel{claim:1:ex:3.4}
+    $\sqrt{w}$ ist Riemann-integrierbar.
+\end{claim}
+\end{schattierteboxdunn}
+
+    \begin{idea}
+        Wir müssen zeigen, dass
+            ${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
+        für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
+        Angesichts der Riemann-Integrierbarkeit von $w$,
+        reicht es offenbar aus,
+        ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
+            $(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
+        und
+            $(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$
+        zu finden.
+        Als na\"{i}ver Ansatz wollen nun die Ungleichung
+
+        \begin{maths}[mc]{rcccl}
+        \eqtag[eq:1:\beweislabel]
+            \abs{\sqrt{y_{2}} - \sqrt{y_{1}}}
+            &\leq
+                &\frac{\abs{y_{2}-y_{1}}}{\sqrt{y_{2}} + \sqrt{y_{1}}}
+            &\leq
+                &\frac{1}{2}
+                    \sqrt{
+                        \min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}
+                    }
+                    \abs{y_{2}-y_{1}}\\
+        \end{maths}
+
+        für $y_{1},y_{2}\in(0,\infty)$ ausnutzen.
+        Doch sofort erkennen wir das Problem:
+            $\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}$
+        ist nicht nach oben beschränkt.
+
+        Hierfür gibt es einen kleinen Fix:
+        wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$,
+        zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist,
+        dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$
+        tendieren und verwenden das Resultat:
+        \emph{
+            Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert
+            Riemann-integrierbarer Funktionen
+            ist wiederum Riemann-integrierbar.
+        }
+    \end{idea}
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
+        Sei $\eps>0$ beliebig.
+        Für alle Zerlegungen
+            $Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
+        beobachte man
+        unter den Definitionen
+            ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
+            und
+            ${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
+
+        \begin{longmaths}[mc]{RCL}
+            O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})
+                &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                    \left(
+                        \sup_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
+                        -\inf_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
+                    \right)
+                    \cdot
+                    \delta x_{i}\\
+                &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                    \left(
+                        \sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
+                        -\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
+                    \right)
+                    \cdot
+                    \delta x_{i}\\
+                &&\text{weil $\sqrt{(\cdot) + \eps}$ stetig ist}\\
+                &\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
+                    &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                    \frac{1}{2\sqrt{\eps}}
+                    \left(
+                        (\sup_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
+                        -(\inf_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
+                    \right)
+                    \cdot
+                    \delta x_{i}\\
+                &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
+                    \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                    \left(
+                        \sup_{x \in I_{i}}w(x)
+                        -\inf_{x \in I_{i}}w(x)
+                    \right)
+                    \cdot
+                    \delta x_{i}\\
+                &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)).\\
+        \end{longmaths}
+
+        Kraft dieser Einschätzung erhält man
+        aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$:
+
+        \begin{maths}[mc]{rcccccl}
+            0 &\leq
+                &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))
+            &\leq
+                &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
+                \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
+            &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\
+        \end{maths}
+
+        Also
+            ${\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))=0}$.
+        Also
+            ${O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$.
+        Darum stimmen untere und obere Summen von $\sqrt{w + \eps}$ überein.
+        Definitionsgemäß ist $\sqrt{w + \eps}$ somit Riemann-integrierbar
+        für alle $\eps>0$.
+
+        Beachte außerdem, dass
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \sup_{x\in[a,b]}
+                    \abs{\sqrt{w(x)+\eps} - \sqrt{w(x)}}
+                &= &\sup_{x\in[a,b]}
+                        \frac{
+                            \abs{(w(x)+\eps) - w(x)}
+                        }{
+                            \sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
+                        }\\
+                &= &\sup_{x\in[a,b]}
+                    \frac{
+                        \eps
+                    }{
+                        \sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
+                    }\\
+                &\leq &\sup_{x\in[a,b]}
+                    \frac{
+                        \eps
+                    }{
+                        \sqrt{0 + \eps} + \sqrt{0}
+                    }
+                = \sqrt{\eps},\\
+            \end{maths}
+
+        sodass auf $[a,b]$
+        das Netz
+            $(\sqrt{w + \eps})_{\eps>0}$
+        gleichmäßig gegen
+            $\sqrt{w}$
+        konvergiert für ${\eps\longrightarrow 0}$.\footnote{
+            Wenn man mit Netzen nicht zurecht kommt,
+            reicht es hier schon mit einer Folge aus:
+            fixiere irgendeine Nullfolge
+                $(\eps_{n})_{n\in\naturals}$,
+            dann
+                ${
+                    \sup_{x\in[a,b]}
+                        \abs{\sqrt{w(x)+\eps_{n}} - \sqrt{w(x)}}
+                    \leq
+                        \sqrt{\eps_{n}}
+                    \underset{n}{\longrightarrow}0
+                }$.
+        }
+        Laut Vorlesung ist $\sqrt{w}$ somit Riemann-integrierbar.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+%% ********** END OF FILE: body/woche3/A4.tex **********
+
+%% ********** END OF FILE: body/woche3/index.tex **********
+
+%% ********** END OF FILE: body/index.tex **********
+
+%% BACKMATTER
+\clearpage
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: back/index.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography
+\bgroup
+\small
+\bibliographystyle{abbrv}
+\def\bibname{Referenzen}
+\begin{thebibliography}{1}
+
+\bibitem{deitmar2014BookAnalysis}
+A.~Deitmar.
+\newblock {\em {Analysis}}.
+\newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1
+  edition, 2014.
+
+\bibitem{forster2016BookAnalysis1}
+O.~Forster.
+\newblock {\em {Analysis 1}}.
+\newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
+  2016.
+
+\bibitem{pogorzelski}
+F.~Pogorzelski.
+\newblock {Analysis I--II}, 2021--2.
+\newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.
+
+\end{thebibliography}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\bibname}}
+\egroup
+
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+
+\end{document}
+
+%% ********** END OF FILE: root.tex **********