diff --git a/notes/notes.tex b/notes/notes.tex index 6aad5b6..d353535 100644 --- a/notes/notes.tex +++ b/notes/notes.tex @@ -8,6 +8,7 @@ %% DOI: — %% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik %% INSTITUTE: Universität Leipzig +%% SUBJECT: Analysis II / Sommersemester 2022 %% ******************************************************************************** %% ******************************************************************************** @@ -15,6 +16,12 @@ %% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ %% %% root.tex +%% |____ src/index.tex +%% |____ src/setup-class.tex +%% |____ src/setup-imports.tex +%% |____ src/local/setup-local-text.tex +%% |____ src/local/setup-local-maths.tex +%% |____ front/title.tex %% |____ front/index.tex %% |____ front/foreword.tex %% |____ front/contents.tex @@ -22,6 +29,9 @@ %% |____ body/woche3/index.tex %% |____ body/woche3/A1.tex %% |____ body/woche3/A4.tex +%% |____ body/woche4/index.tex +%% |____ body/woche4/A1.tex +%% |____ body/woche4/A4.tex %% |____ 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******************************************************************************** + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\PassOptionsToPackage{ + utf8, +}{inputenc} +\PassOptionsToPackage{ + T2A, +}{fontenc} +\PassOptionsToPackage{ + utf8, +}{inputenc} +\PassOptionsToPackage{ + british, + ngerman, +}{babel} +\PassOptionsToPackage{ + fixlanguage, +}{babelbib} +\PassOptionsToPackage{ + bookmarks=true, + bookmarksopen=false, + bookmarksopenlevel=0, + bookmarkstype=toc, + raiselinks=true, + hyperfigures=true, + colorlinks=true, + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + %% colours + linkcolor=blue, + anchorcolor=black, + citecolor=red, + filecolor=red, + menucolor=red, + runcolor=blue, + urlcolor=blue, + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +}{hyperref} +\PassOptionsToPackage{ + reset, + left=1in, + right=1in, + top=2.5cm, + bottom=3cm, + heightrounded, + twoside=false, +}{geometry} 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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\latinabbrv{idest}{i.e.} +\latinabbrv{Idest}{I.e.} +\latinabbrv{cf}{cf.} +\latinabbrv{exempli}{e.g.} +\latinabbrv{Exempli}{E.g.} +\latinabbrv{etcetera}{etc.} +\latinabbrv{viz}{viz.} +\englishabbrv{bspw}{bspw.} +\englishabbrv{dh}{d.\,h.} +\englishabbrv{Dh}{D.\,h.} +\englishabbrv{fastsicher}{f.\,s.} +\englishabbrv{imAllg}{i.\,A.} +\englishabbrv{ImAllg}{I.\,A.} +\englishabbrv{maW}{m.\,a.\,W.} +\englishabbrv{oE}{o.\,E.} +\englishabbrv{OE}{O.\,E.} +\englishabbrv{oBdA}{o.\,B.\,d.\,A.} %% !! warning: do not call this \wlog !! +\englishabbrv{OBdA}{O.\,B.\,d.\,A.} +\englishabbrv{bzgl}{bzgl.} +\englishabbrv{obenst}{o.\,s.} +\englishabbrv{untenst}{u.\,s.} +\englishabbrv{sieheoben}{s.\,o.} +\englishabbrv{sieheunten}{s.\,u.} +\englishabbrv{usw}{usw.} +\englishabbrv{zumB}{z.\,B.} +\englishabbrv{ZumB}{Z.\,B.} + +\let\oldbar\bar + \let\bar\widebar + 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donnerstags Übungsgruppe für +\emph{Analysis II / Sommersemester 2022}, Universität Leipzig. \egroup %% ********** END OF FILE: front/foreword.tex ********** @@ -83,15 +418,15 @@ In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der mittwochs Übungsgruppe für %% FILE: body/index.tex %% ******************************************************************************** -\setcounterafter{chapter}{3} +\setcounterafter{chapter}{2} %% ******************************************************************************** %% FILE: body/woche3/index.tex %% ******************************************************************************** \let\oldchaptername\chaptername -\def\chaptername{Woche} -\chapter[20. April 2022]{20. April 2022} +\def\chaptername{Kapitel} +\chapter[Woche 3, 20. April 2022]{Woche 3, 20. April 2022} \let\chaptername\oldchaptername \label{ch:1} @@ -120,7 +455,7 @@ Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL). \begin{schattierteboxdunn} \begin{claim} -\setblocklabel{claim:1:ex:3.1} +\setblocklabel{claim:1:ex:2.1:raj-analysis-ii-notes} Es existiert ein $\xi\in[a,b]$ so dass ${ \int_{a}^{b} fg \dee x @@ -210,62 +545,62 @@ Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL). Für diese Aufgabe seien gegeben: \begin{kompaktitem} - \item $a0$, - zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist, - dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$ - tendieren und verwenden das Resultat: - \emph{ - Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert - Riemann-integrierbarer Funktionen - ist wiederum Riemann-integrierbar. - } - \end{idea} + Hierfür gibt es einen kleinen Fix: + wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$, + zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist, + dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$ + tendieren und verwenden das Resultat: + \emph{ + Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert + Riemann-integrierbarer Funktionen + ist wiederum Riemann-integrierbar. + } +\end{idea} \begin{einzug}[\mytab][\mytab] - \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}] + \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz I] Sei $\eps>0$ beliebig. Für alle Zerlegungen $Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$ @@ -315,13 +650,13 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben: Kraft dieser Einschätzung erhält man aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$: - \begin{maths}[mc]{rcccccl} + \begin{maths}[mc]{rcl} 0 &\leq - &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})) + &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))\\ &\leq &\frac{1}{2\sqrt{\eps}} \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) - &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\ + = \frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\ \end{maths} Also @@ -381,10 +716,612 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben: \end{beweis} \end{einzug} +Es gibt einen weiteren Ansatz. +Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate: + +\begin{prop} +\setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} + Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$. + Angenommne, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar. + Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist. + Des Weiteren gilt + ${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$. +\end{prop} + + \begin{einzug}[\mytab][\mytab] + \begin{beweis} + Dies ist eine einfache Anwendung von der Cauchy-Schwarz Ungleichung + auf die Riemann-integrierbaren Funktion $\sqrt{u}$ und $\einser_{[a,b]}$. + (Siehe ÜG.) + \end{beweis} + \end{einzug} + +\begin{prop} +\setblocklabel{prop:2:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} + Seien $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$. + Dann $\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha} \leq \sqrt{\beta - \alpha}$. +\end{prop} + + \begin{einzug}[\mytab][\mytab] + \begin{beweis} + Falls $\alpha = \beta$, sind beide seiten der behaupteten Ungleichung $0$ und deshalb gilt sie. + Ansonsten muss $\beta > \alpha \geq 0$ und damit $\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha} > 0$. + Durch den üblichen Trick erhalten wir + + \begin{maths}[mc]{rcccccl} + \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha} + &= &\frac{\beta - \alpha}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}} + &= &\sqrt{\beta - \alpha} \cdot \frac{\sqrt{\beta - \alpha}}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}} + &\leq + &\sqrt{\beta - \alpha} \cdot \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\beta} + 0},\\ + \end{maths} + + da $\sqrt{\cdot}$ monoton ist und $\beta - \alpha \leq \beta$ + und $\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha} \geq \sqrt{\beta}$. + Darum gilt die Ungleichung. + \end{beweis} + \end{einzug} + +\def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} +Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären: + +\begin{idea} + Wir müssen zeigen, dass + ${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$ + für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$. + Wiederum suchen wir ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen + $(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$ + und + $(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$. + Nun, entsprechend der Zerlegungen sind Treppenfunktionen. + Darum betrachten wird diese Summen als Integrale von Treppenfunktionen + und wenden die Ungleichung in \Cref{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} darauf an. + Dies dürfen wir, da Treppenfunktionen stets Riemann-integrierbar sind. +\end{idea} + + \begin{einzug}[\mytab][\mytab] + \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II] + Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$. + Setze außerdem + ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$ + und + ${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$. + Setze auch + + \begin{maths}[mc]{cc} + \begin{array}[t]{rcl} + h^{+}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} w(x),\\ + h^{-}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} w(x),\\ + \end{array} + &\begin{array}[t]{rcl} + g^{+}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)},\\ + g^{-}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)}\\ + \end{array}\\ + \end{maths} + + für jedes $i\in\{0,1,\ldots,N-1\}$ und definiere die Treppenfunktionen + + \begin{maths}[mc]{cc} + \begin{array}[t]{rcl} + h^{+} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}h^{+}_{i}\cdot\einser_{I_{i}},\\ + h^{-} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}h^{-}_{i}\cdot\einser_{I_{i}},\\ + \end{array} + &\begin{array}[t]{rcl} + g^{+} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}g^{+}_{i}\cdot\einser_{I_{i}},\\ + g^{-} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}g^{-}_{i}\cdot\einser_{I_{i}}.\\ + \end{array}\\ + \end{maths} + + Per Konstruktion dieser Treppenfunktionen sieht man sofort, dass + + \begin{maths}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:2:\beweislabel] + \begin{array}[t]{rcl} + \displaystyle\int_{a}^{b} h^{+} \dee x &= &O_{Z}(w),\\ + \displaystyle\int_{a}^{b} h^{-} \dee x &= &U_{Z}(w),\\ + \end{array} + &\begin{array}[t]{rcl} + \displaystyle\int_{a}^{b} g^{+} \dee x &= &O_{Z}(\sqrt{w}),\\ + \displaystyle\int_{a}^{b} g^{-} \dee x &= &U_{Z}(\sqrt{w})\\ + \end{array}\\ + \end{maths} + + gelten. + Wegen Stetigkeit und (strikter) Monotonie von $\sqrt{\cdot}$ auf $I_{i} = [x_{i},x_{i+1}]$ + beobachte man, dass + + \begin{maths}[mc]{rcccccl} + \sqrt{h^{+}_{i}} + &= &\sqrt{\sup_{x \in I_{i}} w(x)} + &= &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)} + &= &g^{+}_{i},\\ + \sqrt{h^{-}_{i}} + &= &\sqrt{\sup_{x \in I_{i}} w(x)} + &= &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)} + &= &g^{-}_{i}\\ + \end{maths} + + für alle $i \in \{0,1,\ldots,N-1\}$. + Darum gelten + + \begin{maths}[mc]{rclcrcl} + \eqtag[eq:2:2:\beweislabel] + \sqrt{h^{+}} &= &g^{+} + &\text{und} + &\sqrt{h^{-}} &= &g^{-}.\\ + \end{maths} + + Mithilfe der \obenst Resultate erhält man + + \begin{maths}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:3:2:\beweislabel] + O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}) + &\eqcrefoverset{eq:1:2:\beweislabel}{=} + &\displaystyle\int_{a}^{b} g^{+} - g^{-} \dee x\\ + &\eqcrefoverset{eq:2:2:\beweislabel}{=} + &\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{h^{+}} - \sqrt{h^{-}} \dee x\\ + &\leq + &\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{h^{+} - h^{-}} \dee x\\ + &&\begin{array}[t]{0l} + \text{nach \Cref{prop:2:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\ + \text{und da $0 \leq h^{-} \leq h^{+} < \infty$ überall}\\ + \end{array}\\ + &\leq + &(b-a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} h^{+} - h^{-} \dee x)^{1/2}\\ + &\eqcrefoverset{eq:1:2:\beweislabel}{=} + &(b-a)^{1/2}\sqrt{O_{Z}(w) - U_{Z}(w)}\\ + \end{maths} + + wobei die letzte Ungleichung aus + \Cref{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} folgt, + und da $h^{+} - h^{-}$ eine Treppenfunktion und damit Riemann-integrierbar ist. + + Da $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt nun + ${(O_{Z}(w) - U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$. + Wegen Stetigkeit von $(b-a)^{1/2}\sqrt{\cdot}$ auf $[0,\infty)$ + gilt also + ${((b-a)^{1/2}\sqrt{O_{Z}(w) - U_{Z}(w)})_{Z} \longrightarrow 0}$. + Da \eqcref{eq:3:2:\beweislabel} für alle Zerlegung $Z$ von $[a,b]$ gilt, + erhält man + + \begin{maths}[mc]{rcccccl} + 0 &\leq &\limsup_{Z} O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}) + &\leq &\limsup_{Z} (b-a)^{1/2}\sqrt{O_{Z}(w) - U_{Z}(w)} + &= &0\\ + \end{maths} + + Darum gilt ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$. + Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar. + \end{beweis} + \end{einzug} + %% ********** END OF FILE: body/woche3/A4.tex ********** %% ********** END OF FILE: body/woche3/index.tex ********** +\setcounterafter{chapter}{3} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/woche4/index.tex +%% ******************************************************************************** + +\let\oldchaptername\chaptername +\def\chaptername{Kapitel} +\chapter[Woche 4, 27. April 2022]{Woche 4, 27. April 2022} +\let\chaptername\oldchaptername +\label{ch:4} + +\setcounterafter{section}{1} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/woche4/A1.tex +%% ******************************************************************************** + +\let\oldsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[]{} +\let\sectionname\oldsectionname +\label{sec:5} + +Für diese Aufgabe seien gegeben: + +\begin{kompaktitem} + \item $a 0:~} + \exists{N \in \naturals:~} + \forall{m,n \geq N:~} + \norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \eps.\\ + \end{maths} + + Dann existiert eine stetige Funktion ${f : X \to \reals}$, + so dass + ${(f_{n})_{n} \longrightarrow f}$ + gleichmäßig. +\end{claim} +\end{schattierteboxdunn} + + \begin{beweis} + Für jedes $x \in X$ gilt + + \begin{maths}[mc]{c} + \forall{\eps > 0:~} + \exists{N \in \naturals:~} + \forall{m,n \geq N:~} + |f_{n}(x)-f_{m}(x)| + \leq \norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \eps.\\ + \end{maths} + + Darum ist $(f_{n}(x))_{n} \subseteq \reals$ Cauchy. + Da $\reals$ vollständig ist, + existiert somit eine eindeutige Zahl $y_{x} \in \reals$, + so dass ${(f_{n}(x))_{n} \longrightarrow y_{x}}$. + Definiere nun ${f : X \longrightarrow \reals}$ + vermöge $f(x) = y_{x}$ für $x \in X$. + Dann per Wahl wissen wir, dass ${(f_{n})_{n} \longrightarrow f}$ punktweise. + Wir müssen zeigen, dass (1) diese Konvergenz gleichmäßig ist + und dass (2) $f$ stetig ist. + + \heading{Zur gleichmäßigen Konvergenz:} + Sei $\eps > 0$. + Per Eigenschaft (C) existiert ein Index $N_{0}$, + so dass + ${\norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \frac{\eps}{3}}$ + für alle $m,n \geq N_{0}$. + Sei $m \geq N(\eps)$ beliebig. + Sei $x \in X$ beliebig. + Per Konstruktion von $f$ existiert ein Index $n_{0}$, + so dass + $\abs{f(x) - f_{n}(x)} < \frac{\eps}{3}$ + für alle $n \geq n_{0}$. + Wähle nun irgendeinen Index $n$ mit $n \geq N_{0}$ und $n \geq n_{0}$. + Dann: + + \begin{maths}[mc]{rcccl} + \abs{f(x) - f_{m}(x)} + &\leq &\abs{f(x) - f_{n}(x)} + \abs{f_{n}(x) - f_{n}(x)} + &< &\frac{\eps}{3} + \frac{\eps}{3},\\ + \end{maths} + + da $n \geq n_{0}$ und $m,n \geq N_{0}$. + Da dies für alle $x \in X$ gilt, + erhalten wir + + \begin{maths}[mc]{rcccccl} + \norm{f-f_{m}}_{\infty} + &= &\sup_{x \in X}\abs{f(x) - f_{m}(x)} + &\leq &\frac{2\eps}{3} + &< &\eps. + \end{maths} + + Darum wurde + + \begin{maths}[mc]{rcccccl} + \forall{\eps>0:~} + \exists{N\in\naturals:~} + \forall{m \geq N:~} + \norm{f-f_{m}}_{\infty} < \eps\\ + \end{maths} + + bewiesen. + Also, ${(f_{n})_{n} \longrightarrow f}$ gleichmäßig. + + \heading{Zur Stetigkeit von $f$:} + Seien ${(x_{k})_{k} \subseteq X}$ und $x \in X$ beliebig. + Wir müssen zeigen, dass ${(f(x_{k}))_{k} \longrightarrow f(x)}$. + Seien $x \in X$ und $\eps > 0$. + Wir müssen eine Umgebung $U$ von $x$ finden, + so dass + + \begin{maths}[mc]{c} + \eqtag[eq:0:\beweislabel] + \forall{x^{\prime} \in U:~} + \abs{f(x^{\prime}) - f(x)} < \eps\\ + \end{maths} + + Wegen gleichmäßiger Konvergenz existiert ein Index $N_{0}$, + so dass + + \begin{maths}[mc]{c} + \eqtag[eq:1:\beweislabel] + \norm{f-f_{m}}_{\infty} < \frac{\eps}{3}\\ + \end{maths} + + für $m \geq N_{0}$. + Wähle nun irgendeinen Index $m$ mit $m \geq N_{0}$. + Da per Voraussetzung $f_{m}$ stetig ist, + existiert eine Umgebung $U$ von $x$, + so dass + + \begin{maths}[mc]{c} + \eqtag[eq:2:\beweislabel] + \forall{x^{\prime} \in U:~} + \abs{f_{m}(x^{\prime}) - f_{m}(x)} + < \frac{\eps}{3}.\\ + \end{maths} + + Zwei Anwendungen von \eqcref{eq:1:\beweislabel} und eine von \eqcref{eq:2:\beweislabel} + liefert nun für jedes $x^{\prime} \in U$: + + \begin{maths}[mc]{rcl} + \abs{f(x^{\prime}) - f(x)} + &\leq &\abs{f(x^{\prime}) - f_{m}(x^{\prime})} + + \abs{f_{m}(x^{\prime}) - f_{m}(x)} + + \abs{f_{m}(x) - f(x)}\\ + &\leq &\norm{f - f_{m}}_{\infty} + + \abs{f_{m}(x^{\prime}) - f_{m}(x)} + + \norm{f_{m} - f}_{\infty}\\ + &< &\frac{\eps}{3} + + \frac{\eps}{3} + + \frac{\eps}{3} + = \eps\\ + \end{maths} + + Darum gilt \eqcref{eq:0:\beweislabel}. + Da $x,\eps$ beliebig gewählt wurden ist $f$ stetig. + \end{beweis} + +\begin{rem} + Es spielte keine Rolle, dass es sich um eine Folge handelte: + wir hätten auch mit Netzen arbeiten können. + Wir benötigten nur die Vollständigkeit des Werteraums. + Darum hätten wir $\reals$ durch jeden beliebigen vollständig metrischen Raum, + $(Y,d)$, + ersetzen können. + Es spielt überhaupt keine Rolle, dass $X = [a,b]$. + Dieser Beweis funktioniert für jeden topologischen Raum, $X$, + solange alle stetigen Funktionen über $X$ beschränkt sind. + Dies ist der Fall, wenn $X$ kompakt ist. + In der Tat, wissen wir durch einen analogen Beweis mit effektiv keinen Modifizierungen, + dass der Raum $C(X,Y)$ + (% + der Raum aller stetigen Funkionen + über einem kompakten Raum $X$ nach einem vollständig metrischen Raum $(Y,d)$% + ) + vollständig ist \bzgl der Metrik + $d_{\infty}(f,g) \coloneq \sup_{x \in X}d(f(x),g(x))$. + Siehe \bspw \cite[\S{}3.19, bes.~Lemma~3.97, S.{}124]{aliprantis2005BookAnalysis}. + Wenn $(Y,d)$ ein vollständig normierter Vektorraum ist + (wie \zumB $(\reals,\abs{\cdot})$, $(\complex,\abs{\cdot})$), + so ist $d_{\infty}$ durch die Norm $\norm{\cdot}_{\infty}$ induziert, + und $(C(X,Y),\norm{\cdot}_{\infty})$ bildet dann einen vollständig normierten Vektorraum. + Dies ist einer der ersten Banach-Räume, dem wir begegnen. +\end{rem} + +%% ********** END OF FILE: body/woche4/A1.tex ********** + +\setcounterafter{section}{4} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/woche4/A4.tex +%% ******************************************************************************** + +\let\oldsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[]{} +\let\sectionname\oldsectionname +\label{sec:6} + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} +\setcounterafter{enumi}{2} +%% A4(b) +\item + \def\beweislabel{ex:3.4} + Zu berechnen: + + \begin{maths}[mc]{c} + I \coloneq + \displaystyle + \int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(x)) + \dee x\\ + \end{maths} + + \begin{idea} + Der Trick hier (oder: einer davon!) ist ein gewöhnlicher: + Wir können zwar keine Stammfunktion + (zumindest auf einfache Weise) + bestimmen, + \underline{aber} als ganzen Wert betrachtet versuchen wir, + einen algebraischen Ausdruck für $I$ zu finden. + Hierfür manipulieren wir die Domäne + und nutzen Symmetrien im Funktionsausdruck aus. + \end{idea} + + \heading{Vorarbeit:} + Für solche Tricks hilft es häufig, natürliche auxiliäre Ausdrücke (gleichzeitig) zu untersuchen. + In diesem Falle ist dies: + + \begin{maths}[mc]{c} + J \coloneq + \displaystyle + \int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\cos(x)) + \dee x.\\ + \end{maths} + + Was die Symmetrien anbelangt, + berufen wir uns auf folgende Erkenntnisse: + + \begin{maths}[mc]{rcl} + \cos(x) &= &\sin(\frac{\pi}{2} - x)\\ + \sin(\pi - x) &= &\sin(x)\\ + \sin(2x) &= &2\sin(x)\cos(x)\\ + \end{maths} + + für alle $x \in \reals$. + + \heading{Die Berechnung:} + Durch die Verhältnisse zw. $\cos$ und $\sin$ + können wir $I$ und $J$ wie folgt in Verbindung setzen: + + \begin{maths}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:\beweislabel] + J &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(\frac{\pi}{2}-x)) + \dee x\\ + &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + (-t^{\prime}) + \cdot + \log(\sin(t)) + \dee x\\ + &&\text{% + Subst: $t(x) = \frac{\pi}{2} - x$; $\Rightarrow$ $t^{\prime} = -1$% + }\\ + &= &-\displaystyle\int_{t = \frac{\pi}{2}}^{0} + \log(\sin(t)) + \dee t + = I.\\ + \end{maths} + + Wegen der Spiegelsymmetrie von $\sin$ um $\frac{\pi}{2}$ + kann man das Integral wie folgt verdoppeln: + + \begin{longmaths}[mc]{RCL} + 2I + &= + &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(x)) + \dee x + + \displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(\pi - x)) + \dee x\\ + &= + &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(x)) + \dee x + + + \displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + (-t^{\prime}) + \cdot + \log(\sin(t)) + \dee x\\ + &&\text{% + Subst: $t(x) = \pi - x$; $\Rightarrow$ $t^{\prime} = -1$% + }\\ + &= + &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(x)) + \dee x + - \displaystyle\int_{t = \pi}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(t)) + \dee t\\ + &= + &\displaystyle\int_{x = 0}^{\pi} + \log(\sin(x)) + \dee x\\ + &= + &\displaystyle\int_{x = 0}^{\pi} + (2 t^{\prime}) + \cdot + \log(\sin(2t)) + \dee x\\ + &&\text{% + Subst: $t(x) = \frac{1}{2}x$; $\Rightarrow$ $t^{\prime} = \frac{1}{2}$% + }\\ + &= + &2 + \displaystyle\int_{t = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(2t)) + \dee t,\\ + \end{longmaths} + + und damit gilt + + \begin{maths}[mc]{c} + \eqtag[eq:2:\beweislabel] + I = \displaystyle\int_{t = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(2t)) + \dee t.\\ + \end{maths} + + Jetzt bringen wir diese zwei Umformungen zusammen: + + \begin{maths}[mc]{rcl} + 2I &\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=} + &I + J\\ + &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\sin(x)) + \dee x + + + \displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log(\cos(x)) + \dee x\\ + &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log( + \sin(x) + \cos(x) + ) + \dee x\\ + &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \log( + \frac{1}{2} + \sin(2x) + ) + \dee x\\ + &&\text{% + wegen trig. Identität% + }\\ + &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}} + \left( + \log(\frac{1}{2}) + + + \log(\sin(2x)) + \right) + \dee x\\ + &\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{=} + &\frac{\pi}{2} \cdot \log(\frac{1}{2}) + I.\\ + \end{maths} + + Darum erhält man folgenden algebraischen Ausdruck für $I$: + + \begin{maths}[mc]{c} + 2I = \frac{\pi}{2} \cdot \log(\frac{1}{2}) + I\\ + \end{maths} + + Daraus ergibt sich, dass + $I = \frac{\pi}{2} \cdot \log(\frac{1}{2}) + = \Fbox{-\frac{\pi}{2}\log(2)}$ + der gesuchte Werte des Integrals ist. + + \begin{rem} + Dieser Berechnung zufolge ist der + Mittelwert von $\log(\sin(\cdot))$ + auf dem Gebiet $[0,\frac{\pi}{2}]$ + gleich $\log(\frac{1}{2})$, + also $\log(\sin(\frac{\pi}{6}))$. + Wegen der Symmetrien von $\sin$ können wir + daraus erschließen, + dass der Mittelwert von + $\log\abs{\sin(\cdot)}$ + auf $[0,2\pi]$ + auch gleich $\log(\frac{1}{2})$ ist. + \end{rem} +\end{enumerate} + +%% ********** END OF FILE: body/woche4/A4.tex ********** + +%% ********** END OF FILE: body/woche4/index.tex ********** + %% ********** END OF FILE: body/index.tex ********** %% BACKMATTER @@ -397,25 +1334,30 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben: \nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography \bgroup \small -\bibliographystyle{abbrv} +\bibliographystyle{alpha} \def\bibname{Referenzen} -\begin{thebibliography}{1} +\begin{thebibliography}{For16} -\bibitem{deitmar2014BookAnalysis} -A.~Deitmar. +\bibitem[AB05]{aliprantis2005BookAnalysis} +Charalambos~D. Aliprantis and Kim~C. Border. +\newblock {\em {Infinite Dimensional Analysis, a Hitchhiker's Guide}}. +\newblock Springer-Verlag, 3rd edition, 2005. + +\bibitem[Dei14]{deitmar2014BookAnalysis} +Anton Deitmar. \newblock {\em {Analysis}}. \newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1 edition, 2014. -\bibitem{forster2016BookAnalysis1} -O.~Forster. +\bibitem[For16]{forster2016BookAnalysis1} +Otto Forster. \newblock {\em {Analysis 1}}. \newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition, 2016. -\bibitem{pogorzelski} -F.~Pogorzelski. -\newblock {Analysis I--II}, 2021--2. +\bibitem[Pog 2]{pogorzelski} +Felix Pogorzelski. +\newblock {Vorlesungsskript: Analysis I--II}, 2021--2. \newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}. \end{thebibliography}