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@ -716,13 +716,142 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben:
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\end{beweis}
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\end{einzug}
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Es gibt einen weiteren Ansatz.
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Die Idee im vorherigen Ansatz kann man vereinfachen.
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Folgende Herangehensweise kommt von Tobias Habacker.
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Zunächst benötigen wir eine Einschätzung:
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\begin{prop}
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\setblocklabel{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
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Sei $\eps > 0$ beliebig.
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Dann für alle $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$
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gilt
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$%
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\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
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\leq
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\max\{
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\eps^{-1}(\beta - \alpha),
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||||
\eps
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\}
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\leq
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||||
\eps^{-1}(\beta - \alpha) + \eps
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$.
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\end{prop}
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\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
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\begin{beweis}
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Falls $\sqrt{\beta} < \eps$, so gilt
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$%
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\max\{
|
||||
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
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||||
\eps
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\} \geq \eps
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\geq \sqrt{\beta}
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||||
\geq \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
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$, also gilt die Ungleichung.
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Falls $\sqrt{\beta} \geq \eps$,
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||||
so gilt
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\begin{maths}[mc]{rcl}
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||||
\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
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&= &\frac{
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\beta - \alpha
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}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}\\
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&\leq
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||||
&\frac{
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||||
\beta - \alpha
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}{\sqrt{\beta}}\\
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&\leq &\eps^{-1})(\beta - \alpha)\\
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||||
&\leq &\max\{
|
||||
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
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||||
\eps
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\}.\\
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\end{maths}
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Darum gilt die erste Ungleichung in allen Fällen.
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Die zweite gilt, weil
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für alle $r,s\in[0,\infty)$
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entweder
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$\max\{r,s\} = r \leq r + s$
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oder
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$\max\{r,s\} = s \leq r + s$
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gilt.
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\end{beweis}
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\end{einzug}
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Dies können wir verwenden, um die Ober- und Untersummen von $\sqrt{w}$
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ohne Modifizierung von $w$ einzuschätzen.
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\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
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\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
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Sei $\eps > 0$ beliebig.
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Für alle Zerlegungen
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$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
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beobachte man
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unter den Definitionen
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${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
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und
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${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
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\begin{longmaths}[mc]{RCL}
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O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
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&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
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||||
\left(
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\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)}
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||||
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)}
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||||
\right)
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||||
\cdot
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||||
\delta x_{i}\\
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&&\text{(analog zu Ansatz I)}\\
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&\leq &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
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||||
\left(
|
||||
\eps^{-1} \cdot (
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||||
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
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||||
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
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||||
)
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||||
+ \eps
|
||||
\right)
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||||
\cdot
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||||
\delta x_{i}\\
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||||
&&\text{wegen \Cref{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
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||||
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
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||||
+ \eps\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_{i})\\
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||||
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (x_{N} - x_{0})\\
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||||
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a).\\
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\end{longmaths}
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Da dies für alle Zerlegungen, $Z$, von $[a,b]$ gilt
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und $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt
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${(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
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Folglich
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\begin{maths}[mc]{rcl}
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0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))\\
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&\leq &\limsup_{Z} (\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a))\\
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||||
&= &\eps^{-1} \cdot \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a)\\
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&= &\eps^{-1} \cdot 0 + \eps \cdot (b - a).\\
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||||
\end{maths}
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Da dies für alle $\eps > 0$ gilt, erhält man
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\begin{maths}[mc]{rcccccl}
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0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))
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&\leq &\inf_{\eps}(\eps \cdot (b - a))
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&= &0.\\
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\end{maths}
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Also $\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})) = 0$.
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Also ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
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Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
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\end{beweis}
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\end{einzug}
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Es gibt nun einen dritten Ansatz.
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Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
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\begin{prop}
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\setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
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Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$.
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Angenommne, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
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Angenommen, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
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Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist.
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Des Weiteren gilt
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${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$.
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@ -763,7 +892,7 @@ Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
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\end{einzug}
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\def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
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Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
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Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
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\begin{idea}
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Wir müssen zeigen, dass
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@ -780,7 +909,7 @@ Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabe
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\end{idea}
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\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
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\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
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\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz III]
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Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$.
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Setze außerdem
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${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
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