master > master: notes - fügte 3. Ansatz für A2-3 hinzu

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@ -716,13 +716,142 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben:
\end{beweis}
\end{einzug}
Es gibt einen weiteren Ansatz.
Die Idee im vorherigen Ansatz kann man vereinfachen.
Folgende Herangehensweise kommt von Tobias Habacker.
Zunächst benötigen wir eine Einschätzung:
\begin{prop}
\setblocklabel{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
Sei $\eps > 0$ beliebig.
Dann für alle $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$
gilt
$%
\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
\leq
\max\{
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
\eps
\}
\leq
\eps^{-1}(\beta - \alpha) + \eps
$.
\end{prop}
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
\begin{beweis}
Falls $\sqrt{\beta} < \eps$, so gilt
$%
\max\{
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
\eps
\} \geq \eps
\geq \sqrt{\beta}
\geq \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
$, also gilt die Ungleichung.
Falls $\sqrt{\beta} \geq \eps$,
so gilt
\begin{maths}[mc]{rcl}
\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
&= &\frac{
\beta - \alpha
}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}\\
&\leq
&\frac{
\beta - \alpha
}{\sqrt{\beta}}\\
&\leq &\eps^{-1})(\beta - \alpha)\\
&\leq &\max\{
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
\eps
\}.\\
\end{maths}
Darum gilt die erste Ungleichung in allen Fällen.
Die zweite gilt, weil
für alle $r,s\in[0,\infty)$
entweder
$\max\{r,s\} = r \leq r + s$
oder
$\max\{r,s\} = s \leq r + s$
gilt.
\end{beweis}
\end{einzug}
Dies können wir verwenden, um die Ober- und Untersummen von $\sqrt{w}$
ohne Modifizierung von $w$ einzuschätzen.
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
Sei $\eps > 0$ beliebig.
Für alle Zerlegungen
$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
beobachte man
unter den Definitionen
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
und
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
\left(
\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)}
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)}
\right)
\cdot
\delta x_{i}\\
&&\text{(analog zu Ansatz I)}\\
&\leq &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
\left(
\eps^{-1} \cdot (
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
)
+ \eps
\right)
\cdot
\delta x_{i}\\
&&\text{wegen \Cref{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
+ \eps\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_{i})\\
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (x_{N} - x_{0})\\
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a).\\
\end{longmaths}
Da dies für alle Zerlegungen, $Z$, von $[a,b]$ gilt
und $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt
${(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
Folglich
\begin{maths}[mc]{rcl}
0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))\\
&\leq &\limsup_{Z} (\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a))\\
&= &\eps^{-1} \cdot \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a)\\
&= &\eps^{-1} \cdot 0 + \eps \cdot (b - a).\\
\end{maths}
Da dies für alle $\eps > 0$ gilt, erhält man
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))
&\leq &\inf_{\eps}(\eps \cdot (b - a))
&= &0.\\
\end{maths}
Also $\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})) = 0$.
Also ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
\end{beweis}
\end{einzug}
Es gibt nun einen dritten Ansatz.
Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
\begin{prop}
\setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$.
Angenommne, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
Angenommen, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist.
Des Weiteren gilt
${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$.
@ -763,7 +892,7 @@ Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
\end{einzug}
\def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
\begin{idea}
Wir müssen zeigen, dass
@ -780,7 +909,7 @@ Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabe
\end{idea}
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz III]
Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$.
Setze außerdem
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$

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