master > master: notes - fügte 3. Ansatz für A2-3 hinzu

notes/notes.tex

@@ -716,13 +716,142 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben:
     \end{beweis}
     \end{einzug}
 
-Es gibt einen weiteren Ansatz.
+Die Idee im vorherigen Ansatz kann man vereinfachen.
+Folgende Herangehensweise kommt von Tobias Habacker.
+Zunächst benötigen wir eine Einschätzung:
+
+\begin{prop}
+\setblocklabel{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
+    Sei $\eps > 0$ beliebig.
+    Dann für alle $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$
+    gilt
+        $%
+            \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
+            \leq
+                \max\{
+                    \eps^{-1}(\beta - \alpha),
+                    \eps
+                \}
+            \leq
+            \eps^{-1}(\beta - \alpha) + \eps
+        $.
+\end{prop}
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}
+        Falls $\sqrt{\beta} < \eps$, so gilt
+        $%
+            \max\{
+                \eps^{-1}(\beta - \alpha),
+                \eps
+            \} \geq \eps
+            \geq \sqrt{\beta}
+            \geq \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
+        $, also gilt die Ungleichung.
+        Falls $\sqrt{\beta} \geq \eps$,
+        so gilt
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
+                    &= &\frac{
+                            \beta - \alpha
+                        }{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}\\
+                    &\leq
+                        &\frac{
+                            \beta - \alpha
+                        }{\sqrt{\beta}}\\
+                    &\leq &\eps^{-1})(\beta - \alpha)\\
+                    &\leq &\max\{
+                        \eps^{-1}(\beta - \alpha),
+                        \eps
+                    \}.\\
+            \end{maths}
+
+        Darum gilt die erste Ungleichung in allen Fällen.
+        Die zweite gilt, weil
+            für alle $r,s\in[0,\infty)$
+        entweder
+            $\max\{r,s\} = r \leq r + s$
+        oder
+            $\max\{r,s\} = s \leq r + s$
+        gilt.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+Dies können wir verwenden, um die Ober- und Untersummen von $\sqrt{w}$
+ohne Modifizierung von $w$ einzuschätzen.
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
+        Sei $\eps > 0$ beliebig.
+        Für alle Zerlegungen
+            $Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
+        beobachte man
+        unter den Definitionen
+            ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
+            und
+            ${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
+
+            \begin{longmaths}[mc]{RCL}
+                O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
+                    &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                        \left(
+                            \sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)}
+                            -\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)}
+                        \right)
+                        \cdot
+                        \delta x_{i}\\
+                    &&\text{(analog zu Ansatz I)}\\
+                    &\leq &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                        \left(
+                            \eps^{-1} \cdot (
+                                \sup_{x \in I_{i}}w(x)
+                                -\inf_{x \in I_{i}}w(x)
+                            )
+                            + \eps
+                        \right)
+                        \cdot
+                        \delta x_{i}\\
+                    &&\text{wegen \Cref{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
+                        + \eps\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_{i})\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (x_{N} - x_{0})\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a).\\
+            \end{longmaths}
+
+        Da dies für alle Zerlegungen, $Z$, von $[a,b]$ gilt
+        und $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt
+            ${(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
+        Folglich
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))\\
+                    &\leq &\limsup_{Z} (\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a))\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a)\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot 0 + \eps \cdot (b - a).\\
+            \end{maths}
+
+        Da dies für alle $\eps > 0$ gilt, erhält man
+
+            \begin{maths}[mc]{rcccccl}
+                0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))
+                    &\leq &\inf_{\eps}(\eps \cdot (b - a))
+                    &= &0.\\
+            \end{maths}
+
+        Also $\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})) = 0$.
+        Also ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
+        Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+Es gibt nun einen dritten Ansatz.
 Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
 
 \begin{prop}
 \setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
     Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$.
-    Angenommne, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
+    Angenommen, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
     Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist.
     Des Weiteren gilt
         ${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$.
@@ -763,7 +892,7 @@ Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
     \end{einzug}
 
 \def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
-Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
+Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
 
 \begin{idea}
     Wir müssen zeigen, dass
@@ -780,7 +909,7 @@ Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabe
 \end{idea}
 
     \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
-    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz III]
         Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$.
         Setze außerdem
             ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$