master > master: protokolle aktualisiert

.gitignore

@@ -11,12 +11,9 @@
 # PROJECT FILES
 ################################################################
 
-!/protocol
 !/notes
-!/notes/glossar.md
-!/notes/quellen.md
-!/notes/woche*.pdf
 
+!/protocol
 !/protocol/README.md
 !/protocol/woche*.md
 

notes/.gitignore

@@ -0,0 +1,24 @@
+*
+!/.gitignore
+
+################################################################
+# MAIN FOLDER
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+#
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+# PROJECT FILES
+################################################################
+
+!/glossar.md
+!/quellen.md
+!/notes.tex
+!/notes.pdf
+!/woche*.pdf
+
+################################################################
+# Git Keep
+################################################################
+
+!/**/.gitkeep

protocol/README.md

@@ -3,7 +3,6 @@
 Inhaltsverzeichnis
 
 - [Vorlesungswoche 1](./woche1.md)
-<!--
 - [Vorlesungswoche 2](./woche2.md)
 - [Vorlesungswoche 3](./woche3.md)
 - [Vorlesungswoche 4](./woche4.md)
@@ -17,4 +16,6 @@ Inhaltsverzeichnis
 - [Vorlesungswoche 12](./woche12.md)
 - [Vorlesungswoche 13](./woche13.md)
 - [Vorlesungswoche 14](./woche14.md)
+<!--
+- [Vorlesungswoche 14](./woche15.md)
 -->

protocol/woche1.md

@@ -13,6 +13,8 @@
 - ~~[ ] Aufgaben: Klausuraufgaben~~~
 - [x] Konzepte (Zerlegungen, obere Summen, untere Summen) hinter Riemann-Integral
   - In den [Handnotizen](../notes/woche1.pdf) findet man ein paar Ergänzungen sowie das Beispiel am Ende der ÜG (komplett durchgerechnet).
+  - Unter [diesem Link](https://www.geogebra.org/m/bnhwycf4) findet man ein interaktives Diagramm,
+    das die Konzepte von Zerlegungen + unteren/oberen Summen demonstriert.
 
 ## Nächste Woche ##
 

protocol/woche10.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Vorlesungswoche 10 (6.–12. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB9 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB10
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 10 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 verschiedene Konzepte von Stetigkeit + Differenzierbarkeit erlernen
+  - Implikationen (und wenn sie strikt sind!) verinnerlichen
+  - auf „Überschneidungen“ achten
+- ÜB10 bis Frist abgeben.

protocol/woche11.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+# Vorlesungswoche 11 (13.–19. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB10 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB11
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 11 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 verschiedene zusammenfassen.
+- ÜB11 bis Frist abgeben.

protocol/woche12.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# Vorlesungswoche 11 (20.–26. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB11 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB12

protocol/woche13.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# Vorlesungswoche 11 (27. Juni – 3. Juli 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB12 / Vorrechnen

protocol/woche14.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# Vorlesungswoche 11 (4.–10. Juli 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ] Rückgabe der ÜB
+- [ ] ÜB13 / Vorrechnen
+- [ ] Besprechung von verwandten Themen: lokale Umkehrbarkeit, Satz der impl. Funktion, usw.

protocol/woche2.md

@@ -0,0 +1,94 @@
+# Vorlesungswoche 2 (11.—17. April 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Organisatorisches
+  - Bedenke auch, zur Vertiefung sich die Literatur (referenziert in [protocol/woche1.md](./woche1.md)) nachzuschlagen.
+- [x] Aufgaben: ÜB1
+  - A1: Hauptidee war:
+    - g´(a') = ƒ´(a') - ξ < 0 < ƒ´(b') - ξ = g´(b')
+    - g diffbar auf (a', b') und rechts- bzw. linksableitbar im Pkt a' bzw. b'
+    - Für solche Funktionen gilt das Lemma:
+      - g stetig auf [a', b'] und besitzt damit ein globales Minimum (c,g(c))
+      - c ≠ a', weil sonst die Rechtsableitung g´(a') ≥ 0 gelten muss.
+      - c ≠ b', weil sonst die Linksableitung g´(b') ≤ 0 gelten muss.
+      - Darum c ∈ (a', b'). Also:
+        ```
+        g´(c) = Rechtsableitung g´(c)
+              = lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ γ⁺
+              = lim |g(x)-g(c)|/|x-γ| da x > γ und g(x) ≥ g(c)
+              ≥ 0
+        g´(c) = Linksableitung g´(c)
+              = lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ c¯
+              = lim -|g(x)-g(c)|/|x-c| da x < c und g(x) ≥ g(c)
+              = - lim |g(x)-g(c)|/|x-c| mit x ⟶ c¯
+              ≤ 0
+        ⟹ g´(c) = 0.
+        ```
+  - A2 übersprungen.
+  - A3 vorgerechnet
+  - A4 mit der Variante berechnet --- mit offenen Intervallen.
+    </br>
+    Hier eine Variante mit abgeschlossenen Intervallen:
+    ```
+    | Sei n ≥ 1 eine beliebige Zahl.
+    | Setze:
+    |   A := { x ∈ [0,1] | N(x) ≥ 1/n }
+    |      = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q und 1/q = N(x) ≥ 1/n }
+    |      = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q ≤ n }
+    | Also ist A endlich, da offensichtlich |A| ≤ n².
+    |
+    | | Sei Z = (x[0], x[1], ..., x[m]) eine bel. Zerlegung.
+    | | Wegen Überschneidungen durch die Endpunkte
+    | | enthalten höchstens 2·|A| Intervalle Punkte aus A.
+    | |
+    | | - Für diese „bad“ Intervalle gelten
+    | |     sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ sup_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 1
+    | |     inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
+    | | - Für die m - 2·|A| anderen „good“ Intervalle gelten
+    | |     sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ 1/(n+1) < 1/n
+    | |     inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
+    | |
+    | | Darum:
+    | |
+    | |  U_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |    ≥ ∑_{k=0}^{m-1} 0 · (x[k+1] - x[k])
+    | |    = 0.
+    | |
+    | |  O_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |    = ∑_{k „bad“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |      + ∑_{k „good“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |    ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
+    | |      + ∑_{k „good“} 1/n · (x[k+1] - x[k])
+    | |    ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
+    | |      + ∑_{k=0}^{m-1} 1/n · (x[k+1] - x[k]) <--- Teleskopsumme = 1/n
+    | |    ≤ |Z|·#bad + 1/n
+    | |    ≤ |Z|·2|A| + 1/n
+    | |________________________________
+    | ⟹ Für fixes n, aber immer feiner werdende Zerlegungen Z:
+    |
+    |  lim_Z O_Z(N) = limsup_Z O_Z(N)
+    |    ≤ limsup_Z 2|A|·|Z| + 1/n
+    |    = 2|A|·0 + 1/n
+    |    = 1/n
+    |________________________________
+    ⟹ Da n beliebig gewählt werden kann, gilt somit:
+
+    inf_Z O_Z(N) = lim_Z O_Z(N)
+        ≤ inf_n 1/n
+        = 0.
+
+    Also: 0 ≤ sup_Z U_Z(N) ≤ inf_Z O_Z(N) ≤ 0
+    Also: sup_Z U_Z(N) = inf_Z O_Z(N) = 0.
+    Also: N integrierbar und ∫ N dx = 0.
+    ```
+- [x] Zusatz: Fragen zu ÜB2
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 2 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 10 weiter vertiefen durchgehen, inbes. die Konzepte aus LinAlg durchgehen.
+- ÜB2 bis Frist abgeben.

protocol/woche3.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# Vorlesungswoche 3 (18.—24. April 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Organisatorisches
+- [x] Aufgaben: ÜB2
+  - alles bis auf Zusatzaufgabe
+  - siehe auch [./notes/notes.pdf](../notes/notes.pdf) für A1 + 4.
+- [x] Fragen zu ÜB3
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 3 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Jede sollte für sich Hauptkonzepte aus Kapitel 10 für sich zusammenfassen, Wissenslücken vorgreifen. Z. B.
+  - Zerlegungen, Stützpunkte, Treppenfunktionen, untere/obere Summen
+  - _hinreichende_ Bedingungen für Riemann-Integrierbarkeit
+  - Resultate wie gl. Konvergenz R-int Fkt sind R-int
+  - Cauchy-Schwarz
+  - uneigentliche Integrale
+  - _et cetera_
+- ÜB3 bis Frist abgeben.

protocol/woche4.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# Vorlesungswoche 4 (25. April — 1. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Organisatorisches / Rückgabe der ÜB
+- [x] Aufgaben: ÜB3
+  - siehe auch [./notes/notes.pdf](../notes/notes.pdf) für A1 + 4.
+  - A3 (a) geht auch einfacher,
+    wenn man `∫ sin(x)/x dx` von `x=0` bis `x=+∞` untersucht.
+    In einem anderen Modul wurde dieses Integral explizit bestimmt.
+    Aus der Endlichkeit dieses Integrals,
+    sowie der Riemann-Integrierbarkeit von dem Integral von `0` bis `1`
+    (man braucht nur die Stetigkeit einer »passenden« Fortsetzung der Funktion),
+    folgt die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit von dem Integral von `1` bis `+∞`.
+- [x] Fragen zu ÜB4
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 4 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 11 + 12 durchlesen.
+- ÜB4 bis Frist abgeben.

protocol/woche5.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# Vorlesungswoche 5 (2.–8. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] Umgang mit Kapitel 12
+  - [x] Begriffe für metr. Räume
+  - [x] Verallg. zu top. Räumen
+  - [x] eine Metrik vs. „die“ Metrik
+  - [x] Umgebungen und Stetigkeit
+- [x] Aufgaben: ÜB4
+  - [x] Abschluss der offenen Kugel ⊆ die abgeschlossene Kugel; und nicht immer =!
+- [x] Fragen zu ÜB5
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 5 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 12 durchlesen. Tipps:
+  - Zusammenfassung für sich erstellen.
+  - **Achtung:** Beim Thema Topologie gibt es viele Überschneidungen
+    und viel Potential für Verwechselung (z. B. „falsche Freunde“)
+  - Themen sortieren und unterordnen, damit alles leichter einzuordnen ist und nicht überwältigend.
+- ÜB5 bis Frist abgeben.

protocol/woche6.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# Vorlesungswoche 6 (9.–15. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ] Rückgabe der ÜB
+- [ ] Theorie wiederholen
+  - [ ] Axiome einer Metrik
+  - [ ] Stetigkeit einer Fkt zw. zwei metrischen Räumen
+    - in einem gegebenen Punkt
+    - überall (vgl. [**VL, Lemma 25 + Thm 57, Seite 185**])
+- [ ] ÜB5 / Vorrechnen
+- [ ] Besprechung von Themen in ÜB6
+  - [ ] das Innere, der Abschluss, der Rand
+  - [ ] Produktopologie
+  - [ ] Stetigkeit bzgl. was? — zugrunde liegende Konvergenzbegriff der Topologie vs. Metrik.
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 6 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 12 durchlesen.
+- ÜB6 bis Frist abgeben.

protocol/woche7.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+# Vorlesungswoche 7 (16.–22. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] Theorie wiederholen
+  - [x] Stetigkeit: Komposition
+  - [x] Inneres, Abschluss, Rand von Mengen/Kugeln
+  - [x] Kompaktheit
+  - [ ] Produkttopologie
+- [ ] ÜB6 / Vorrechnen
+- [ ] Besprechung von Themen in ÜB7
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 7 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 12 nochmals drüber gehen; zusammenfassen; ggf. Checkliste von „TODOs“ erstellen.
+- ÜB7 bis Frist abgeben.

protocol/woche8.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+# Vorlesungswoche 8 (23.–29. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB7 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB8
+  - zusammenhängend
+  - wegzusammenhängend
+  - Konstruktion von stetigen Fkt
+  - Hinweise zu Aufgaben.
+  - Literatur zu A4.
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 8 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 anfangen; Hauptbegriffe und -resultate auflisten und durchgehen.
+- ÜB8 bis Frist abgeben.

protocol/woche9.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Vorlesungswoche 9 (30. Mai – 5. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB8 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB9
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 9 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 verschiedene Konzepte von Stetigkeit + Differenzierbarkeit erlernen
+  - Implikationen (und wenn sie strikt sind!) verinnerlichen
+  - auf „Überschneidungen“ achten
+- ÜB9 bis Frist abgeben.