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@@ -716,142 +716,13 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben:
     \end{beweis}
     \end{einzug}
 
-Die Idee im vorherigen Ansatz kann man vereinfachen.
+Es gibt einen weiteren Ansatz.
-Folgende Herangehensweise kommt von Tobias Habacker.
-Zunächst benötigen wir eine Einschätzung:
-
-\begin{prop}
-\setblocklabel{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
-    Sei $\eps > 0$ beliebig.
-    Dann für alle $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$
-    gilt
-        $%
-            \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
-            \leq
-                \max\{
-                    \eps^{-1}(\beta - \alpha),
-                    \eps
-                \}
-            \leq
-            \eps^{-1}(\beta - \alpha) + \eps
-        $.
-\end{prop}
-
-    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
-    \begin{beweis}
-        Falls $\sqrt{\beta} < \eps$, so gilt
-        $%
-            \max\{
-                \eps^{-1}(\beta - \alpha),
-                \eps
-            \} \geq \eps
-            \geq \sqrt{\beta}
-            \geq \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
-        $, also gilt die Ungleichung.
-        Falls $\sqrt{\beta} \geq \eps$,
-        so gilt
-
-            \begin{maths}[mc]{rcl}
-                \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
-                    &= &\frac{
-                            \beta - \alpha
-                        }{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}\\
-                    &\leq
-                        &\frac{
-                            \beta - \alpha
-                        }{\sqrt{\beta}}\\
-                    &\leq &\eps^{-1})(\beta - \alpha)\\
-                    &\leq &\max\{
-                        \eps^{-1}(\beta - \alpha),
-                        \eps
-                    \}.\\
-            \end{maths}
-
-        Darum gilt die erste Ungleichung in allen Fällen.
-        Die zweite gilt, weil
-            für alle $r,s\in[0,\infty)$
-        entweder
-            $\max\{r,s\} = r \leq r + s$
-        oder
-            $\max\{r,s\} = s \leq r + s$
-        gilt.
-    \end{beweis}
-    \end{einzug}
-
-Dies können wir verwenden, um die Ober- und Untersummen von $\sqrt{w}$
-ohne Modifizierung von $w$ einzuschätzen.
-
-    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
-    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
-        Sei $\eps > 0$ beliebig.
-        Für alle Zerlegungen
-            $Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
-        beobachte man
-        unter den Definitionen
-            ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
-            und
-            ${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
-
-            \begin{longmaths}[mc]{RCL}
-                O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
-                    &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
-                        \left(
-                            \sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)}
-                            -\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)}
-                        \right)
-                        \cdot
-                        \delta x_{i}\\
-                    &&\text{(analog zu Ansatz I)}\\
-                    &\leq &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
-                        \left(
-                            \eps^{-1} \cdot (
-                                \sup_{x \in I_{i}}w(x)
-                                -\inf_{x \in I_{i}}w(x)
-                            )
-                            + \eps
-                        \right)
-                        \cdot
-                        \delta x_{i}\\
-                    &&\text{wegen \Cref{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
-                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
-                        + \eps\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_{i})\\
-                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (x_{N} - x_{0})\\
-                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a).\\
-            \end{longmaths}
-
-        Da dies für alle Zerlegungen, $Z$, von $[a,b]$ gilt
-        und $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt
-            ${(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
-        Folglich
-
-            \begin{maths}[mc]{rcl}
-                0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))\\
-                    &\leq &\limsup_{Z} (\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a))\\
-                    &= &\eps^{-1} \cdot \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a)\\
-                    &= &\eps^{-1} \cdot 0 + \eps \cdot (b - a).\\
-            \end{maths}
-
-        Da dies für alle $\eps > 0$ gilt, erhält man
-
-            \begin{maths}[mc]{rcccccl}
-                0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))
-                    &\leq &\inf_{\eps}(\eps \cdot (b - a))
-                    &= &0.\\
-            \end{maths}
-
-        Also $\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})) = 0$.
-        Also ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
-        Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
-    \end{beweis}
-    \end{einzug}
-
-Es gibt nun einen dritten Ansatz.
 Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
 
 \begin{prop}
 \setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
     Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$.
-    Angenommen, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
+    Angenommne, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
     Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist.
     Des Weiteren gilt
         ${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$.
@@ -892,7 +763,7 @@ Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
     \end{einzug}
 
 \def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
-Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
+Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
 
 \begin{idea}
     Wir müssen zeigen, dass
@@ -909,7 +780,7 @@ Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabe
 \end{idea}
 
     \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
-    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz III]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
         Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$.
         Setze außerdem
             ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$