%% ********************************************************************************
%% AUTHOR:     Raj Dahya
%% CREATED:    19.04.2022
%% DATE:       SoSe, 2022
%% YEAR:       2022
%% TYPE:       Notes
%% TITLE:      Notizen
%% DOI:        —
%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
%% INSTITUTE:  Universität Leipzig
%% ********************************************************************************

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%% DOCUMENT STRUCTURE:
%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%%
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: ---
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\begin{document}
\startdocumentlayoutoptions

%% FRONTMATTER

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\maketitle
\clearpage

%% ********************************************************************************
%% FILE: front/foreword.tex
%% ********************************************************************************

\section*{Vorwort}

\bgroup
\small
In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der mittwochs Übungsgruppe für Analysis II / Sommersemester 2022 an der Universität Leipzig.
\egroup

%% ********** END OF FILE: front/foreword.tex **********

\clearpage

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%% FILE: front/contents.tex
%% ********************************************************************************

\bgroup
\small
\setcounter{tocdepth}{3}
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}

    \tableofcontents
\egroup

%% ********** END OF FILE: front/contents.tex **********

\clearpage

%% ********** END OF FILE: front/index.tex **********

%% BODY

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/index.tex
%% ********************************************************************************

\setcounterafter{chapter}{3}

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/woche3/index.tex
%% ********************************************************************************

\let\oldchaptername\chaptername
\def\chaptername{Woche}
\chapter[20. April 2022]{20. April 2022}
\let\chaptername\oldchaptername
\label{ch:1}

\setcounterafter{section}{1}

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/woche3/A1.tex
%% ********************************************************************************

\let\oldsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[]{}
\let\sectionname\oldsectionname
\label{sec:2}

Für diese Aufgabe seien gegeben:

\begin{kompaktitem}
    \item $a<b$ in $\reals$;
    \item $f,g:[a,b]\to\reals$
        mit $g$ Riemann-integrierbar,
        $g\geq 0$ überall, und $f$ stetig.
\end{kompaktitem}

Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL).

\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim}
\setblocklabel{claim:1:ex:3.1}
    Es existiert ein $\xi\in[a,b]$
    so dass ${
        \int_{a}^{b} fg \dee x
        = f(\xi) \int_{a}^{b} g \dee x
    }$
\end{claim}
\end{schattierteboxdunn}

    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
        Da $[a,b]$ kompakt ist und $f$ stetig ist,
        realisiert $f$ sein Infimum und Supremum auf $[a,b]$.
        \Dh es existieren $x_{-},x_{+}\in[a,b]$, so dass

            \begin{maths}[mc]{rcccl}
                M_{-}
                    &\coloneq
                        &\inf_{x\in[a,b]}f(x)
                        &= &f(x_{-})\in\reals,\\
                M_{+}
                    &\coloneq
                        &\sup_{x\in[a,b]}f(x)
                        &= &f(x_{+})\in\reals.\\
            \end{maths}

        Also $-\infty < M_{-} \leq f(x) \leq M_{+} < \infty$
        für alle $x\in[a,b]$.
        Per Monotonie des Integrals und da $g\geq 0$ und $f$ sowie konstante Funktionen Riemann-integrierbar sind,
        gilt

            \begin{maths}[mc]{rcccl}
            \eqtag[eq:2:\beweislabel]
                \underbrace{
                    \int_{a}^{b} M_{-}g \dee x
                }_{M_{-}\int_{a}^{b} g \dee x =}
                &\leq
                    &\int_{a}^{b} fg \dee x
                &\leq &\underbrace{
                    \int_{a}^{b} M_{+}g \dee x
                }_{= M_{+}\int_{a}^{b} g \dee x}.\\
            \end{maths}

        Da $g\geq 0$ überall, gilt $\int_{a}^{b} g \dee x \geq 0$.
        Falls $\int_{a}^{b} g \dee x > 0$,
        können wir in \eqcref{eq:2:\beweislabel} überall durch diese Zahl teilen
        und erhalten
            ${%
                c \coloneq
                    \frac{\int_{a}^{b} fg \dee x}{\int_{a}^{b} g \dee x}
                \in [M_{-},M_{+}]
            }$.
        Falls ${\int_{a}^{b} g \dee x = 0}$,
        dann folgt aus der \obenst Einschätzungen
            ${0\leq \int_{a}^{b} fg \dee x \leq 0}$
        und damit ${\int_{a}^{b} fg \dee x = 0}$.
        In diesem Falle setzen wir ein beliebiges $c \in [M_{-},M_{+}]$.
        In beiden Fällen sieht man

            \begin{maths}[mc]{rcl}
            \eqtag[eq:3:\beweislabel]
                \int_{a}^{b} fg \dee x
                &= &c\cdot \int_{a}^{b} g \dee x\\
            \end{maths}

        für ein $c\in[M_{-},M_{+}]$.
        Da $f$ stetig ist und die Werte $M_{-},M_{+}$ realisiert,
        existiert laut des ZWS ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=c$.
        Eingesetzt in \eqcref{eq:3:\beweislabel}
        erhalten wir die Behauptung.
    \end{beweis}
    \end{einzug}

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\setcounterafter{section}{4}

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/woche3/A4.tex
%% ********************************************************************************

\let\oldsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[]{}
\let\sectionname\oldsectionname
\label{sec:3}

Für diese Aufgabe seien gegeben:

\begin{kompaktitem}
    \item $a<b$ in $\reals$;
    \item $w:[a,b]\to[0,\infty)$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
\end{kompaktitem}

\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim}
\setblocklabel{claim:1:ex:3.4}
    $\sqrt{w}$ ist Riemann-integrierbar.
\end{claim}
\end{schattierteboxdunn}

    \begin{idea}
        Wir müssen zeigen, dass
            ${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
        für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
        Angesichts der Riemann-Integrierbarkeit von $w$,
        reicht es offenbar aus,
        ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
            $(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
        und
            $(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$
        zu finden.
        Als na\"{i}ver Ansatz wollen nun die Ungleichung

        \begin{maths}[mc]{rcccl}
        \eqtag[eq:1:\beweislabel]
            \abs{\sqrt{y_{2}} - \sqrt{y_{1}}}
            &\leq
                &\frac{\abs{y_{2}-y_{1}}}{\sqrt{y_{2}} + \sqrt{y_{1}}}
            &\leq
                &\frac{1}{2}
                    \sqrt{
                        \min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}
                    }
                    \abs{y_{2}-y_{1}}\\
        \end{maths}

        für $y_{1},y_{2}\in(0,\infty)$ ausnutzen.
        Doch sofort erkennen wir das Problem:
            $\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}$
        ist nicht nach oben beschränkt.

        Hierfür gibt es einen kleinen Fix:
        wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$,
        zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist,
        dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$
        tendieren und verwenden das Resultat:
        \emph{
            Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert
            Riemann-integrierbarer Funktionen
            ist wiederum Riemann-integrierbar.
        }
    \end{idea}

    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
        Sei $\eps>0$ beliebig.
        Für alle Zerlegungen
            $Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
        beobachte man
        unter den Definitionen
            ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
            und
            ${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:

        \begin{longmaths}[mc]{RCL}
            O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})
                &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
                    \left(
                        \sup_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
                        -\inf_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
                    \right)
                    \cdot
                    \delta x_{i}\\
                &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
                    \left(
                        \sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
                        -\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
                    \right)
                    \cdot
                    \delta x_{i}\\
                &&\text{weil $\sqrt{(\cdot) + \eps}$ stetig ist}\\
                &\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
                    &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
                    \frac{1}{2\sqrt{\eps}}
                    \left(
                        (\sup_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
                        -(\inf_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
                    \right)
                    \cdot
                    \delta x_{i}\\
                &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
                    \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
                    \left(
                        \sup_{x \in I_{i}}w(x)
                        -\inf_{x \in I_{i}}w(x)
                    \right)
                    \cdot
                    \delta x_{i}\\
                &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)).\\
        \end{longmaths}

        Kraft dieser Einschätzung erhält man
        aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$:

        \begin{maths}[mc]{rcccccl}
            0 &\leq
                &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))
            &\leq
                &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
                \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
            &= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\
        \end{maths}

        Also
            ${\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))=0}$.
        Also
            ${O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$.
        Darum stimmen untere und obere Summen von $\sqrt{w + \eps}$ überein.
        Definitionsgemäß ist $\sqrt{w + \eps}$ somit Riemann-integrierbar
        für alle $\eps>0$.

        Beachte außerdem, dass

            \begin{maths}[mc]{rcl}
                \sup_{x\in[a,b]}
                    \abs{\sqrt{w(x)+\eps} - \sqrt{w(x)}}
                &= &\sup_{x\in[a,b]}
                        \frac{
                            \abs{(w(x)+\eps) - w(x)}
                        }{
                            \sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
                        }\\
                &= &\sup_{x\in[a,b]}
                    \frac{
                        \eps
                    }{
                        \sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
                    }\\
                &\leq &\sup_{x\in[a,b]}
                    \frac{
                        \eps
                    }{
                        \sqrt{0 + \eps} + \sqrt{0}
                    }
                = \sqrt{\eps},\\
            \end{maths}

        sodass auf $[a,b]$
        das Netz
            $(\sqrt{w + \eps})_{\eps>0}$
        gleichmäßig gegen
            $\sqrt{w}$
        konvergiert für ${\eps\longrightarrow 0}$.\footnote{
            Wenn man mit Netzen nicht zurecht kommt,
            reicht es hier schon mit einer Folge aus:
            fixiere irgendeine Nullfolge
                $(\eps_{n})_{n\in\naturals}$,
            dann
                ${
                    \sup_{x\in[a,b]}
                        \abs{\sqrt{w(x)+\eps_{n}} - \sqrt{w(x)}}
                    \leq
                        \sqrt{\eps_{n}}
                    \underset{n}{\longrightarrow}0
                }$.
        }
        Laut Vorlesung ist $\sqrt{w}$ somit Riemann-integrierbar.
    \end{beweis}
    \end{einzug}

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%% BACKMATTER
\clearpage

%% ********************************************************************************
%% FILE: back/index.tex
%% ********************************************************************************

\nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography
\bgroup
\small
\bibliographystyle{abbrv}
\def\bibname{Referenzen}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{deitmar2014BookAnalysis}
A.~Deitmar.
\newblock {\em {Analysis}}.
\newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1
  edition, 2014.

\bibitem{forster2016BookAnalysis1}
O.~Forster.
\newblock {\em {Analysis 1}}.
\newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
  2016.

\bibitem{pogorzelski}
F.~Pogorzelski.
\newblock {Analysis I--II}, 2021--2.
\newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.

\end{thebibliography}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\bibname}}
\egroup

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\end{document}

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