From 7e1121c2b842aacc6314e3f18723f3f137e3e914 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: raj_mathe <raj.dahya@math.uni-leipzig.de>
Date: Wed, 1 Dec 2021 15:18:59 +0100
Subject: [PATCH] master > master: notes - woche 7

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 - ÜB6 zu Ende schrieben und vor Frist abgeben.
 - VL-Inhalte bes. Kapiteln 2; 4; 5 durchlesen und Stoff erlernen.
+
+### Zusatz: ###
+
+Um „fließender“ mit sup/inf umzugehen, empfehle ich, folgende Aussagen zu beweisen:
+
+1. Sei `(X, <)` eine dichte^ totale Ordnungsrelation. Dann für alle `a,b ∈ X` mit `a < b` gelten:
+
+  - `sup (-∞, b) = sup (a, b) = sup [a, b) = sup (-∞, b] = sup (a, b] = sup [a, b] = b`;
+  - `inf (a, +∞) = inf (a, b) = inf (a, b] = inf [a, +∞) = inf [a, b) = inf [a, b] = a`.
+
+  (So etwas macht man ein Mal im Leben!!)
+
+2. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X`. Dann gelten
+  - `min M` existiert ⟺ `inf M` existiert und `inf M ∈ M`.
+    Wenn das Minimum existiert, dann stimmen Min und Inf überein.
+  - `max M` existiert ⟺ `sup M` existiert und `sup M ∈ M`.
+    Wenn das Maximum existiert, dann stimmen Max und Sup überein.
+
+3. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`.^^ Dann gelten:
+  - `sup I = sup (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
+  - `inf I = inf (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
+
+4. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`. Seien `A ⊆ M` und `m ∈ M`. Dann gelten:
+  - `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(M, <)` ⟺ `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
+  - `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(M, <)` ⟺ `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
+
+5. Finde ein Gegenbeispiel zu den Aussagen in 4, wenn die Dichtheitsannahme wegfällt.
+
+
+^ Dass eine Ordnungsrelation, `(X, <)` **dicht** ist, bedeutet:
+```
+∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ X: x < z < y).
+```
+
+^^ Dass eine Teilmenge, `M ⊆ X`, **dicht in** `(X, <)` ist, bedeutet:
+```
+∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ M: x < z < y).
+```