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Vorlesungswoche 7 (22.–28. November 2021)

Agenda

• Orga
  • Abstimmung der Studierenden über Präsenz v. Digital ---> überwiegende Mehrheit für Präsenzbetrieb.
  • Abgaben ab Woche 8 wieder dienstags (siehe Moodle!).
• ÜB4 - A1, A2 (b)+(c), A4.
• ÜB6 - Aspekte von A4 diskutiert (liminf, limsup). Ähnliche Aufgabe besprochen.

Nächste Woche

• ÜB5 vorrechnen.
• Aspekte von ÜB7 diskutieren.

TODOs (Studierende)

• ÜB6 zu Ende schrieben und vor Frist abgeben.
• VL-Inhalte bes. Kapiteln 2; 4; 5 durchlesen und Stoff erlernen.

Zusatz:

Um „fließender“ mit sup/inf umzugehen, empfehle ich, folgende Aussagen zu beweisen:

1. Sei (X, <) eine dichte^ totale Ordnungsrelation. Dann für alle a,b ∈ X mit a < b gelten:

• sup (-∞, b) = sup (a, b) = sup [a, b) = sup (-∞, b] = sup (a, b] = sup [a, b] = b;
• inf (a, +∞) = inf (a, b) = inf (a, b] = inf [a, +∞) = inf [a, b) = inf [a, b] = a.

(So etwas macht man ein Mal im Leben!!)

2. Sei (X, <) eine totale Ordnungsrelation und sei M ⊆ X. Dann gelten

• min M existiert ⟺ inf M existiert und inf M ∈ M. Wenn das Minimum existiert, dann stimmen Min und Inf überein.
• max M existiert ⟺ sup M existiert und sup M ∈ M. Wenn das Maximum existiert, dann stimmen Max und Sup überein.

3. Sei (X, <) eine totale Ordnungsrelation und sei M ⊆ X dicht in X.^^ Dann gelten:

• sup I = sup (I ∩ M) für alle nicht leere Intervalle I ⊆ X
• inf I = inf (I ∩ M) für alle nicht leere Intervalle I ⊆ X

4. Sei (X, <) eine totale Ordnungsrelation und sei M ⊆ X dicht in X. Seien A ⊆ M und m ∈ M. Dann gelten:

• A hat Supremum m berechnet innerhalb (M, <) ⟺ A hat Supremum m berechnet innerhalb (X, <).
• A hat Infimum m berechnet innerhalb (M, <) ⟺ A hat Infimum m berechnet innerhalb (X, <).

5. Finde ein Gegenbeispiel zu den Aussagen in 4, wenn die Dichtheitsannahme wegfällt.

^ Dass eine Ordnungsrelation, (X, <) dicht ist, bedeutet:

∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ X: x < z < y).

^^ Dass eine Teilmenge, M ⊆ X, dicht in (X, <) ist, bedeutet:

∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ M: x < z < y).