Ein Repository für den Kurs Lineare Algebra 1, WiSe 2020–21.
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2.0 KiB

# Kritzelei aus Woche 3 #
## Übungsblatt 1 ##
Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../docs/loesungen.pdf).
### Anmerkung zu Aufgabe 2 ###
Seien **A** eine m x n Matrix über IR, und **b** in IR^m.
_Lösungsmenge vor Transformation:_
Sei L_1 := { x ∈ IR^n | Ax = b }
_Lösungsmenge nach Transformation:_
Sei L_2 := { x ∈ IR^n | A'x = b' },
wobei (A'|b') das Resultat einer Transformation (Art I, II, III) ist.
**BEHAUPTUNG.** Es gilt L_1 = L_2.
**BEWEIS.**
- **Zu zeigen 1:** L_1 ⊆ L_2
- Sei x aus L_1 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A|b)
- **Zu zeigen:** x in L_2, d. h. dass x eine Lösung zu (A'|b') ist.
- Fall 1. Transformation vom Typ I:
- ...
- Fall 2. Transformation vom Typ II:
- ...
- Fall 3. Transformation vom Typ III:
- ...
- **Zu zeigen 2:** L_2 ⊆ L_1
- Sei x aus L_2 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A'|b')
- **Zu zeigen:** x in L_1, d. h. dass x eine Lösung zu (A|b) ist.
- _Unvollständige Argumentation:_ Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch.
- !! **Fehlt:** Warum bedeutet diese Umkehrbarkeit, dass x noch eine Lösung von (A|b) ist? !!
- Richtiger Ansatz 1:
- Gegeben ist, dass A'x = b' gilt.
- Nun gilt: A' = E·A, b' = E·b, wobei E die Zeilenumformung ist.
- **Umkehrbarkeit der Transformation bedeutet:** E ist umkehrbar.
- Also, aus A'x = b' (d. h. E·A·x = E·b) folgt Ax = b.
- Richtiger Ansatz 2:
- (A'|b') entsteht durch Anwendung von I, II, od. III. aus (A|b)
- **die Umkehrung (von (A'|b') ---> nach (A|b)) ist selbst eine Transformation vom Typ I, II, od. III.**
- Also (A|b) ist eine Transformation von (A'|b')
- Der erste Teil des Beweis hat gezeigt, dass
- **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A'|b')
- d. h. **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A|b).
**QED**