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# Kritzelei aus Woche 3 #
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## Übungsblatt 1 ##
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Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../docs/loesungen.pdf).
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### Anmerkung zu Aufgabe 2 ###
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Seien **A** eine m x n Matrix über IR, und **b** in IR^m.
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_Lösungsmenge vor Transformation:_
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Sei L_1 := { x ∈ IR^n | Ax = b }
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_Lösungsmenge nach Transformation:_
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Sei L_2 := { x ∈ IR^n | A'x = b' },
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wobei (A'|b') das Resultat einer Transformation (Art I, II, III) ist.
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**BEHAUPTUNG.** Es gilt L_1 = L_2.
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**BEWEIS.**
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- **Zu zeigen 1:** L_1 ⊆ L_2
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- Sei x aus L_1 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A|b)
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- **Zu zeigen:** x in L_2, d. h. dass x eine Lösung zu (A'|b') ist.
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- Fall 1. Transformation vom Typ I:
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- ...
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- Fall 2. Transformation vom Typ II:
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- ...
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- Fall 3. Transformation vom Typ III:
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- ...
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- **Zu zeigen 2:** L_2 ⊆ L_1
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- Sei x aus L_2 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A'|b')
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- **Zu zeigen:** x in L_1, d. h. dass x eine Lösung zu (A|b) ist.
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- _Unvollständige Argumentation:_ Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch.
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- !! **Fehlt:** Warum bedeutet diese Umkehrbarkeit, dass x noch eine Lösung von (A|b) ist? !!
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- Richtiger Ansatz 1:
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- Gegeben ist, dass A'x = b' gilt.
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- Nun gilt: A' = E·A, b' = E·b, wobei E die Zeilenumformung ist.
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- **Umkehrbarkeit der Transformation bedeutet:** E ist umkehrbar.
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- Also, aus A'x = b' (d. h. E·A·x = E·b) folgt Ax = b.
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- Richtiger Ansatz 2:
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- (A'|b') entsteht durch Anwendung von I, II, od. III. aus (A|b)
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- **die Umkehrung (von (A'|b') ---> nach (A|b)) ist selbst eine Transformation vom Typ I, II, od. III.**
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- Also (A|b) ist eine Transformation von (A'|b')
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- Der erste Teil des Beweis hat gezeigt, dass
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- **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A'|b')
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- d. h. **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A|b).
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**QED**
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