106 lines
3.1 KiB
Markdown
106 lines
3.1 KiB
Markdown
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
v1=... w1=...
|
|||
|
|
v2=... w2=... wie in Aufgabe
|
|||
|
|
v3 = (1 0 0)
|
|||
|
|
[oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist]
|
|||
|
|
wähle w3 in R^3 beliebig
|
|||
|
|
---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
5b)
|
|||
|
|
ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
|
|||
|
|
---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
|
|||
|
|
---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
|
|||
|
|
Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus)
|
|||
|
|
Sei x ∈ Kern(φ).
|
|||
|
|
Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
|
|||
|
|
Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
|
|||
|
|
Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
|
|||
|
|
Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
|
|||
|
|
===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
|
|||
|
|
(beachte, dass 0 immer im Kern ist)
|
|||
|
|
===> φ injektiv.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
ODER
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben.
|
|||
|
|
Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften.
|
|||
|
|
Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
|
|||
|
|
Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0}
|
|||
|
|
<==> dim(Kern(φ)) = 0
|
|||
|
|
<==> dim(Bild(φ)) = dim(V)
|
|||
|
|
<==> Rang(φ) = dim(V)
|
|||
|
|
<==> Rang(φ) ≥ dim(V)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W
|
|||
|
|
<==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
|
|||
|
|
<==> Rang(φ) = dim(W)
|
|||
|
|
<==> Rang(φ) ≥ dim(W)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh.
|
|||
|
|
dann dim(Bild(φ)) = r
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
|
|||
|
|
B = ( b_ij ) eine m x n Matrix
|
|||
|
|
|
|||
|
|
A + 5B = ( a_ij + 5b_ij )
|
|||
|
|
|
|||
|
|
A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
|
|||
|
|
¯
|
|||
|
|
B = ( b_ij ) eine n x l Matrix
|
|||
|
|
¯
|
|||
|
|
(„innere Dimensionen“ müssen übereinstimmen, um Matrixmult. durchzuführen)
|
|||
|
|
n
|
|||
|
|
A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj
|
|||
|
|
k=1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
l
|
|||
|
|
B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj
|
|||
|
|
k=1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## BEWEISE ##
|
|||
|
|
|
|||
|
|
d)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Behauptung. A,B ⊆ Y gilt f^-1(A∩B) = f^−1(A) ∩ f^−1(B).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Beweis.
|
|||
|
|
(⊆) Sei x ∈ f^-1(A∩B) beliebig.
|
|||
|
|
Zu zeigen: x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B).
|
|||
|
|
D. h. wir müssen zeigen,
|
|||
|
|
dass x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Es gilt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
x ∈ f^-1(A∩B)
|
|||
|
|
⟹ f(x) ∈ A ∩ B (per Definition von f^-1)
|
|||
|
|
⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B
|
|||
|
|
⟹ x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B) (per Definition von f^-1)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Darum gilt x ∈ r. S.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(⊇) Sei x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B).
|
|||
|
|
D. h. x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B).
|
|||
|
|
Zu zeigen: x ∈ f^-1(A∩B).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Es gilt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B)
|
|||
|
|
⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B (per Definition von f^-1)
|
|||
|
|
⟹ f(x) ∈ A ∩ B
|
|||
|
|
⟹ x ∈ f^-1(A∩B) (per Definition von f^-1)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Darum gilt x ∈ l. S.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
QED.
|