Ein Repository für den Kurs Lineare Algebra 1, WiSe 2020–21.
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linalg2020/notes/berechnungen_wk13.md

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# Woche 13 #
## Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen ##
Wir benutzen das Ergebnis
k invertierbar in ℤ/n
⟺ ggT(k, n) = 1
⟺ k, n teilerfremd
### Beispiel 1. ###
In ℤ/10:
k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √
invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
### Beispiel 2. ###
In ℤ/p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren
und wir beachten
- 0 hat kein Inverses
- 1 invertiert sich selbst
- für jedes x ≠ 0
- x invertiert sich selbst, oder
- ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren.
ℤ/2
k | 0 1
k¯¹ | - 1
ℤ/3
k | 0 1 2
k¯¹ | - 1 2
ℤ/5
k | 0 1 2 3 4
k¯¹ | - 1 3 2 4
ℤ/7
k | 0 1 2 3 4 5 6
k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6
Den Vorgang des Ausprobieren können wir für
ℤ/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist.
Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten:
- x nicht invertierbar
- x invertiert sich selbst
- x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x).
ℤ/4
k | 0 1 2 3
k¯¹ | - 1 - 3
ℤ/6
k | 0 1 2 3 4 5
k¯¹ | - 1 - - - 5