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b6f1800ac6
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0312d5bbaf
Binary file not shown.
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@ -4605,8 +4605,8 @@ Welche Methode auch immer man anwendet hat dies mit \fbox{dem Existenz-Teil} des
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\uline{\bfseries \punktcref{1}:}
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Es gilt
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$\ggT(a,b)
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=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a,b\}
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=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides b,a\}
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=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides a,b\}
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=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides b,a\}
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=\ggT(b,a)$.
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\uline{\bfseries \punktcref{2}:}
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@ -4614,29 +4614,28 @@ Welche Methode auch immer man anwendet hat dies mit \fbox{dem Existenz-Teil} des
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dass $d\divides x\Leftrightarrow d\divides|x|$.\\
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Darum gilt
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$\ggT(a,b)
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=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a,b\}
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=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides |a|,|b|\}
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=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides a,b\}
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=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides |a|,|b|\}
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=\ggT(|a|,|b|)$.
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\uline{\bfseries \punktcref{3}:}
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Laut \punktcref{1} reicht es aus \textbf{zu zeigen} $\ggT(a,0)=|a|$.\\
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Es gilt $\ggT(a,0)=\max D$, wobei $D:=\{d\in\ntrl\mid d\divides a,0\}$.\\
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(I) Setze $d_{0}:=|a|$. Offensichtlich gilt $d_{0}\divides a,0$.\\
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Es gilt $\ggT(a,0)=\max D$, wobei $D:=\{d\in\ntrlpos : d\divides a,0\}$.\\
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(I) Setze $d_{0}:=|a|>0$. Offensichtlich gilt $d_{0}\divides a,0$.\\
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(II) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt
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$d\divides a$
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$\Rightarrow$ $|\frac{a}{d}|\geq 1$
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(da $a,d\neq 0$)
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$\Rightarrow$ $d\leq|a|=d_{0}$.\\
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(III) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt $d\divides 0$.\\
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Zusammengefasst,
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Daraus ergibt sich,
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\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
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d_{0}
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&\textoverset{(I)}{\in}
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d_{0} &\textoverset{(I)}{\in}
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&D
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&\textoverset{(III)}{=}
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&\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a\}
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&\subseteq
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&\{d\in\ntrlpos : d\divides a\}
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&\textoverset{(II)}{\subseteq}
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&\{d\in\ntrlpos\mid d\leq d_{0}
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&\{d\in\ntrlpos : d\leq d_{0}
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\end{mathe}
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woraus sich ergibt, dass $d_{0}\leq\max D\leq d_{0}$.
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@ -4651,12 +4650,12 @@ Welche Methode auch immer man anwendet hat dies mit \fbox{dem Existenz-Teil} des
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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d_{1}\divides a,b
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{k,j\in\intgr}a=kd_{1}\,\text{und}\,b=jd_{1}\\
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&\exists{k,j\in\intgr:~}a=kd_{1}\,\text{und}\,b=jd_{1}\\
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&\Longleftrightarrow
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||||
&\exists{k,j\in\intgr}ca=kcd_{1}\,\text{und}\,cb=jcd_{1}\\
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||||
&\exists{k,j\in\intgr:~}ca=kcd_{1}\,\text{und}\,cb=jcd_{1}\\
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||||
&\Longleftrightarrow
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||||
&\exists{k,j\in\intgr}ca=k|c|d_{1}\,\text{und}\,cb=j|c|d_{1}\\
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||||
&&\text{da manz.\,B. $k$ durch $-k$ ersetzen kann}\\
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&\exists{k,j\in\intgr:~}ca=k|c|d_{1}\,\text{und}\,cb=j|c|d_{1}\\
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||||
&&\text{da man z.\,B. $k$ durch $-k$ ersetzen kann}\\
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&\Longleftrightarrow
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&|c|d_{1}\divides ca,cb\\
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\end{mathe}
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@ -4728,20 +4727,20 @@ Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus
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\hline
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\endhead
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||||
$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\
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||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{1}$\\
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||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\
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||||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\
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\hline
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||||
$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{3}$\\
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||||
$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
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||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\
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\hline
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||||
$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\
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||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{15}$\\
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||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\
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||||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\
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\hline
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||||
$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
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||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\
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||||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\
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||||
&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{3}$\\
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||||
&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
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||||
&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\
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\hline
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\hline
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@ -4755,6 +4754,30 @@ $1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
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\label{ska:5:ex:7}
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\let\sectionname\altsectionname
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Wir verwenden die Berechnungen aus der Tabelle in \Cref{ska:5:ex:6}.
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\begin{longtable}[mc]{|cc|c|c|}
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\hline
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\hline
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$a$ &$b$ &Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\
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\hline
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\endhead
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$1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\
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&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\
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\hline
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$13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\
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\hline
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||||
$210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\
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||||
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\
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||||
\hline
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||||
$1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\
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||||
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\
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||||
&&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\
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||||
&&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\
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\hline
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||||
\hline
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||||
\end{longtable}
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%% SKA 5-8
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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@ -4959,15 +4982,15 @@ Dies hat $2!=2$ Elemente:
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Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
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\begin{longtable}{|CC|CC|}
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\begin{longtable}{|CL|CC|}
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\hline
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\hline
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||||
&&\multicolumn{2}{C|}{h}\\
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&gh &e &(1\,2)\\
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&&\multicolumn{2}{c|}{$h$}\\
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||||
&gh &e &(1\ 2)\\
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||||
\hline
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||||
\multirow{2}{*}{g}
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&e &e &(1\,2)\\
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||||
&(1\,2) &(1\,2) &e\\
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\multirow{2}{*}{$g$}
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||||
&e &e &(1\ 2)\\
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||||
&(1\ 2) &(1\ 2) &e\\
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\hline
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\hline
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||||
\end{longtable}
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@ -4986,7 +5009,24 @@ Dies hat $3!=6$ Elemente:
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Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
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({\itshape Unter Arbeit})
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\begin{longtable}{|CL|CCCCCC|}
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\hline
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\hline
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||||
&&\multicolumn{6}{c|}{$h$}\\
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&gh &e &(2\ 3) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3) &(1\ 3\ 2) &(1\ 3)\\
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||||
\hline
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||||
\multirow{6}{*}{$g$}
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&e &e &(2\ 3) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3) &(1\ 3\ 2) &(1\ 3)\\
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&(2\ 3) &(2\ 3) &e &(1\ 3\ 2) &(1\ 3) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3)\\
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&(1\ 2) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3) &e &(2\ 3) &(1\ 3) &(1\ 3\ 2)\\
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||||
&(1\ 2\ 3) &(1\ 2\ 3) &(1\ 2) &(1\ 3) &(1\ 3\ 2) &e &(2\ 3)\\
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||||
&(1\ 3\ 2) &(1\ 3\ 2) &(1\ 3) &(2\ 3) &e &(1\ 2\ 3) &(1\ 2)\\
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||||
&(1\ 3) &(1\ 3) &(1\ 3\ 2) &(1\ 2\ 3) &(1\ 2) &(2\ 3) &e\\
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\hline
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\hline
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\end{longtable}
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({\itshape Achtung: Tafel wurde per Code generiert, also ist die Reihenfolge möglicherweise nicht »ästhetisch«.})
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%% SKA 5-15
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\let\altsectionname\sectionname
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@ -4996,9 +5036,10 @@ Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
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\label{ska:5:ex:15}
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\let\sectionname\altsectionname
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Die erste Gruppe, $S_{2}$, ist kommutativ (»abelsch«). Das lässt sich daran erkennen, dass die Tafel symmetrisch ist.
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An der Tafel lässt sich leicht erkennen, ob eine Gruppe kommutativ ist:
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eine Gruppe, $G$, ist genau dann kommutativ, wenn die Gruppentafel symmetrisch ist.
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Die zweite Gruppe, $S_{3}$, ist kommutativ (»abelsch«). Das lässt sich daran erkennen, dass die Tafel nicht symmetrisch ist.
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Nach den o.\,s. Tafeln ist die erste Gruppe, $S_{2}$, kommutativ und die zweite, $S_{3}$, nicht.
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\setcounternach{part}{3}
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\part{Quizzes}
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