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notes/berechnungen_wk8.md

@@ -129,8 +129,10 @@ Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich
 
     U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}
         = {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ
+        = (Lin{a₁})^⊥,
     U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}
-        = {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ
+        = {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀv
+        = (Lin{a₂})^⊥,
 
 und damit gilt
 
@@ -138,9 +140,9 @@ und damit gilt
               [hierfür braucht man ein Lemma (1)]
             = (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
               [hierfür braucht man ein Lemma (2)]
-            = (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥
+            = (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥
             = (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
-              [hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet]
+              [hier wird Lemma 1 wieder verwendet]
             = ({0})^⊥,
               da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
               und damit gibt es kein gemeinsames Element
@@ -148,3 +150,13 @@ und damit gilt
             = V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
 
 Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen.
+Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata:
+
+**Definition.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt.
+Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}.
+
+**Lemma 1.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt.
+Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V.
+
+**Lemma 2.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt.
+Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.