From 03a02a4f7f5d70965b1c2d89df0338f027bea9d4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 22 Jan 2021 09:05:38 +0100
Subject: [PATCH] master > master: Berechnung 11 erweitert

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 notes/berechnungen_wk11.md | 79 ++++++++++++++++++++++++++++++++------
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@@ -204,34 +204,91 @@ Darum gilt
 
 ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
 
-Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³
-
-
 Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
 Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
 Definiert werden
 
     φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
 
-**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
+**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
 
 **Antwort:** Ja.
 
 **Beweis:**
+Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
+können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
 Setze
+
         φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
         φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
 
-Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
-können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵
+Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
+existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
+(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
+φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
 
-    φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)
+    φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
+**QED**
 
-wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind,
+**Bemerkung 1.**
+Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
+existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
+c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
 so dass
 
     x = ∑ c_i · ui
 
-gilt.
-Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!).
-**QED**
+gilt, und man setzt
+
+    φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
+
+Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
+und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
+
+**Bemerkung 2.**
+Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
+Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
+Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
+müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
+reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
+die Definition kompatibel ist.
+
+Als Beispiel nehmen wir
+
+    u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
+    u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
+    u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
+
+und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
+Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
+dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
+und
+
+    u₃ = -½u₁ + ½u₂.
+
+Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
+umd es muss
+
+    φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
+
+gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
+
+Wenn wir zum Beispiel
+
+    φ(u₁) = (4,  2)
+    φ(u₂) = (-2, 8)
+    φ(u₃) = (-3, 3)
+
+wählen ist, dies erfüllt.
+Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
+durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
+und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
+
+Wenn wir aber
+
+    φ(u₁) = (8,  1)
+    φ(u₂) = (-4, 8)
+    φ(u₃) = (0, 1)
+
+wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
+Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.