From 03a02a4f7f5d70965b1c2d89df0338f027bea9d4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Fri, 22 Jan 2021 09:05:38 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Berechnung 11 erweitert --- notes/berechnungen_wk11.md | 79 ++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 68 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk11.md b/notes/berechnungen_wk11.md index f9923ad..137238b 100644 --- a/notes/berechnungen_wk11.md +++ b/notes/berechnungen_wk11.md @@ -204,34 +204,91 @@ Darum gilt ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## -Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ - - Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. Definiert werden φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ -**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen? +**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen? **Antwort:** Ja. **Beweis:** +Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist, +können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden. Setze + φ(u₃) := 0 (Nullvektor) φ(u₅) := 0 (Nullvektor) -Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, -können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵ +Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅), +existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung** +(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt) +φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass - φ(x) = ∑ c_i · φ(ui) + φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0. +**QED** -wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind, +**Bemerkung 1.** +Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, +existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte +c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ, so dass x = ∑ c_i · ui -gilt. -Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!). -**QED** +gilt, und man setzt + + φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i). + +Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen, +und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert. + +**Bemerkung 2.** +Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen +Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben. +Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt, +müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge +reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs, +die Definition kompatibel ist. + +Als Beispiel nehmen wir + + u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ + u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ + u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ + +und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}. +Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus), +dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist +und + + u₃ = -½u₁ + ½u₂. + +Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden, +umd es muss + + φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) + +gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis). + +Wenn wir zum Beispiel + + φ(u₁) = (4, 2) + φ(u₂) = (-2, 8) + φ(u₃) = (-3, 3) + +wählen ist, dies erfüllt. +Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂) +durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen +und φ zu einer linearen Abb ausdehnen. + +Wenn wir aber + + φ(u₁) = (8, 1) + φ(u₂) = (-4, 8) + φ(u₃) = (0, 1) + +wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt. +Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.