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## Lineare Ausdehnung ##
Aufgabe 5b aus Klausur
v1=... w1=...
v2=... w2=... wie in Aufgabe
v3 = (1 0 0)
[oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist]
wähle w3 in R^3 beliebig
---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13)
i)
5b)
ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus)
Sei x ∈ Kern(φ).
Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
(beachte, dass 0 immer im Kern ist)
===> φ injektiv.
v1=... w1=...
v2=... w2=... wie in Aufgabe
ODER
Wähle v3 = (1 0 0)
Oder sage: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist
Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
Wähle w3 in R^3 beliebig
⟹ ex. lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 (siehe Satz 6.1.13)
mit
φ(v1) = w1
φ(v2) = w2
φ(v3) = w3
ii) Wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
- also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
- lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 wie vorher erzeugen.
- bleibt zu zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist.
Zz: φ ist injektiv.
[Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus.]
Sei also x ∈ Kern(φ).
Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
⟹ Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
(beachte, dass 0 immer im Kern ist)
⟹ φ injektiv.
ODER
Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben.
Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften.
Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
Dann erfüllt φ die erwünschten Eigenschaften.
Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
## Zum Thema Rang <~~~> Inj/Surj
Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
1.
φ injektiv ⟺ Kern(φ) = {0}
⟺ dim(Kern(φ)) = 0
⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V)
⟺ Rang(φ) = dim(V)
⟺ Rang(φ) ≥ dim(V)
Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
2.
(1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0}
<==> dim(Kern(φ)) = 0
<==> dim(Bild(φ)) = dim(V)
<==> Rang(φ) = dim(V)
<==> Rang(φ) ≥ dim(V)
φ surjektiv ⟺ Bild(φ) = W
⟺ dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
⟺ Rang(φ) = dim(W)
⟺ Rang(φ) ≥ dim(W)
(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W
<==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
<==> Rang(φ) = dim(W)
<==> Rang(φ) ≥ dim(W)
Der Punkt? Wir können Rang(φ) _berechnen_.
z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh.
dann dim(Bild(φ)) = r
Anwendung: z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh,
dann gilt offensichtlich dim(Bild(φ)) = r.
Und falls wir nicht wissen, ob {w1, w2, ..., w_r} lin unabh ist,
dann wissen wir dennoch mindestens, dass dim(Bild(φ)) ≤ r,
weil wir eine Teilmenge aus ≤r Vektoren finden können,
die eine Basis für Bild(φ) bilden.
## MATRIZEN ##
@ -121,7 +144,7 @@ d)
Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen.
Beh. ψ ◦ φ injektiv <==> (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}).
Beh. ψ ◦ φ injektiv (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}).
Beweis.
(⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv.

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