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## Lineare Ausdehnung ## |
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Aufgabe 5b aus Klausur |
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v1=... w1=... |
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v2=... w2=... wie in Aufgabe |
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v3 = (1 0 0) |
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[oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist] |
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wähle w3 in R^3 beliebig |
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---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) |
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i) |
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5b) |
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ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. |
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---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. |
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---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. |
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Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) |
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Sei x ∈ Kern(φ). |
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Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 |
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Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 |
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Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis |
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Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. |
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===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} |
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(beachte, dass 0 immer im Kern ist) |
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===> φ injektiv. |
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v1=... w1=... |
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v2=... w2=... wie in Aufgabe |
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ODER |
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Wähle v3 = (1 0 0) |
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Oder sage: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist |
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Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. |
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Wähle w3 in R^3 beliebig |
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⟹ ex. lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 (siehe Satz 6.1.13) |
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mit |
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φ(v1) = w1 |
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φ(v2) = w2 |
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φ(v3) = w3 |
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ii) Wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. |
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- also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. |
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- lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 wie vorher erzeugen. |
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- bleibt zu zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist. |
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Zz: φ ist injektiv. |
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[Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus.] |
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Sei also x ∈ Kern(φ). |
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Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 |
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Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 |
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Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis |
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Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. |
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⟹ Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} |
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(beachte, dass 0 immer im Kern ist) |
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⟹ φ injektiv. |
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ODER |
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Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. |
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iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben. |
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Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften. |
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Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. |
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Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. |
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Dann erfüllt φ die erwünschten Eigenschaften. |
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Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. |
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Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. |
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## Zum Thema Rang <~~~> Inj/Surj |
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Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: |
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1. |
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φ injektiv ⟺ Kern(φ) = {0} |
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⟺ dim(Kern(φ)) = 0 |
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⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V) |
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⟺ Rang(φ) = dim(V) |
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⟺ Rang(φ) ≥ dim(V) |
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Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: |
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2. |
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(1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0} |
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<==> dim(Kern(φ)) = 0 |
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<==> dim(Bild(φ)) = dim(V) |
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<==> Rang(φ) = dim(V) |
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<==> Rang(φ) ≥ dim(V) |
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φ surjektiv ⟺ Bild(φ) = W |
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⟺ dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) |
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⟺ Rang(φ) = dim(W) |
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⟺ Rang(φ) ≥ dim(W) |
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(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W |
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<==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) |
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<==> Rang(φ) = dim(W) |
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<==> Rang(φ) ≥ dim(W) |
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Der Punkt? Wir können Rang(φ) _berechnen_. |
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z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh. |
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dann dim(Bild(φ)) = r |
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Anwendung: z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh, |
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dann gilt offensichtlich dim(Bild(φ)) = r. |
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Und falls wir nicht wissen, ob {w1, w2, ..., w_r} lin unabh ist, |
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dann wissen wir dennoch mindestens, dass dim(Bild(φ)) ≤ r, |
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weil wir eine Teilmenge aus ≤r Vektoren finden können, |
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die eine Basis für Bild(φ) bilden. |
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## MATRIZEN ## |
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@ -121,7 +144,7 @@ d)
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Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen. |
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Beh. ψ ◦ φ injektiv <==> (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}). |
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Beh. ψ ◦ φ injektiv ⟺ (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}). |
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Beweis. |
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(⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv. |
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