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@@ -7404,20 +7404,20 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                     }_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\
             \end{mathe}
 
-        Insbesondere gilt per des Ranges und \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020}
+        Insbesondere gilt per des Definition des Rangs,
+        und da laut \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020} Rang = Spaltenrang,
 
-            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+            \begin{mathe}[mc]{rcccl}
                 \eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2]
                 \rank(A)
-                    &\textoverset{Lemm}{=}
-                        &\text{Spaltenrang}(A)\\
                     &\textoverset{Defn}{=}
-                        &\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})\\
+                        &\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})
                     &\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=}
                         &\dim(\range(\phi_{A})).\\
             \end{mathe}
 
-        Darum gilt die Behauptung.
+        \nvraum{1}
+
     \end{obs}
 
     \begin{enumerate}{\bfseries (a)}
@@ -7430,80 +7430,32 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
             \end{schattierteboxdunn}
 
             \begin{proof}
-                Für diesen Beweis machen wir von den Berechnungen in \cref{obs:2:ueb:11:ex:2} Gebrauch.
-                Wir inspizieren den linearen Unterraum
-
-                    \begin{mathe}[mc]{rcccl}
-                        W &:= &\range(\phi_{A}) &= &\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}\subseteq K^{m}\\
-                    \end{mathe}
-
-                Offensichtlich ist $\cal{W}:=(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})$ ein Erzeugendensystem für $W$, sodass $\dim(W)\leq n$ gilt.
-                Des Weiteren gelten die Implikationen:
-
-                    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                        \eqtag[eq:1:ueb:11:ex:2:a]
-                        \dim(W)\geq n
-                            &\Longrightarrow
-                                &\dim(W)=n\quad\text{(da $\dim(W)\leq n$ sowieso)}\\
-                            &\Longrightarrow
-                                &(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
-                                &&\quad\text{laut \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}}\\
-                                &&\quad\text{und da $\cal{W}$ ein Erzsys. aus $n=\dim(W)$ Vektoren}\\
-                            &\Longrightarrow
-                                &(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{eine Basis für $W$}\\
-                                &&\quad\text{da $\cal{W}$ sowieso ein Erzeugendensystem für $W$ ist}\\
-                            &\Longrightarrow
-                                &\dim(W)=n\\
-                            &\Longrightarrow
-                                &\dim(W)\geq n\quad\text{(offensichtlich)}.\\
-                    \end{mathe}
-
-                Da nun
-                    $\rank(A)\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\dim(W)$,
-                erhalten wir
+                Für diesen Beweis machen wir von der Dimensionsformel für lineare Abbildungen
+                (siehe \cite[6.1.10 Korollar]{sinn2020})
+                Gebrauch.
+                Es gilt
 
                     \begin{longmathe}[mc]{RCL}
-                        \rank(A)\geq n
+                        \phi_{A}\,\text{injektiv}
                             &\Longleftrightarrow
-                                &\dim(W)\geq n\\
-                            &\eqcrefoverset{eq:1:ueb:11:ex:2:a}{\Longleftrightarrow}
-                                &(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
-                            &\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
-                                &\forall{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K:~}
-                                \big(
-                                    \sum_{i=1}^{n}c_{i}w_{i}=\zerovector
-                                    \Rightarrow
-                                    c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}=0_{K}
-                                \big)\\
-                            &\Longleftrightarrow
-                                &\forall{x\in K^{n}:~}
-                                \big(
-                                        \underbrace{
-                                            \sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{i}
-                                        }_{
-                                            =Ax=\phi_{A}(x)
-                                        }
-                                        =\zerovector
-                                        \Rightarrow
-                                        x=\zerovector
-                                \big)\\
-                            &\Longleftrightarrow
-                                &\forall{x\in K^{n}:~}
-                                \big(
-                                        x\in\ker(\phi_{A})\Rightarrow x\in\{\zerovector\}
-                                \big)\\
-                            &\Longleftrightarrow
-                                &\ker(\phi_{A})\subseteq\{\zerovector\}\\
+                                &\ker(\phi_{A})=\{0\}
+                                \quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\
                             &\textoverset{($\ast$)}{\Longleftrightarrow}
-                                &\ker(\phi_{A})=\{\zerovector\}\\
+                                &\dim(\ker(\phi_{A}))=0\\
+                            &\textoverset{Dimensionsformel}{\Longleftrightarrow}
+                                &\dim(K^{n})-\dim(\rank(\phi_{A}))=0\\
                             &\Longleftrightarrow
-                                &\phi_{A}\,\text{injektiv}
-                                \quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}.\\
+                                &\dim(\rank(\phi_{A}))=n\\
+                            &\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
+                                &\rank(A)=n\\
+                            &\Longleftrightarrow
+                                &\rank(A)\geq n.\\
                     \end{longmathe}
 
-                Hierbei gilt ($\ast$),
-                weil $\{\zerovector\}\subseteq\ker(\phi_{A})$ immer gilt,
-                weil wiederum $\phi_{A}(\zerovector)=\zerovector$ stets gilt (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}).
+                Hierbei gilt ($\ast$), da $\ker(\phi_{A})$ ein linearer Unterraum von $K^{n}$ ist,
+                und da $\dim(U)=0\Leftrightarrow U=\{0\}$ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq K^{n}$.
+                Und die letzte doppelte Implikation gilt,
+                weil laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq n$ stets gilt.
                 Den o.\,s. doppelten Implikationen zufolge gilt die Behauptung.
             \end{proof}
 
@@ -7561,7 +7513,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                     Das heißt, $\phi_{A}$ ist injektiv und surjektiv.
                     Aus den anderen Teilaufgaben folgt
                         $\rank(A)\geq\max\{m,n\}$.
-                    Darum gilt $\max\{m,n\}\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
+                    Darum gilt $\max\{m,n\}\leq\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
                     (siehe \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2}).
                     Folglich gelten $m=n$ und $\rank(A)=m=n$.