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@@ -1292,7 +1292,7 @@ gelten.
           3 &-6 &1 &13 &2\\
           -7 &14 &-1 &-32 &-9\\
         \end{smatrix}$
-        über dem Körper ${K=\reell}$ ist.
+        über dem Körper $\reell$ ist.
     \end{exer*}
 
         \begin{soln*}
@@ -1389,12 +1389,13 @@ gelten.
         \end{soln*}
 
     \begin{rem*}
-        Es ist empfehlenwert hier zu überprüfen,
-        dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt.
+        Es wird hier empfohlen zu verifizieren,
+        dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt,
+        um zu überprüfen, dass unsere Lösung \emph{nicht offensichtlich falsch} ist.
     \end{rem*}
 
     \begin{exer*}
-        Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\reell$).
+        Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\reell$).
     \end{exer*}
 
         \begin{soln*}
@@ -1436,13 +1437,13 @@ gelten.
     \textbf{Zur Kontrolle:} Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir
     eine Basis des Lösungsraums der Länge $2$,
     d.\,h. $\dim(\ker(A))=2$,
-    und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$,
+    und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$ gefunden,
     d.\,h. $\dim(\range(A))=3$.
     Wir sehen dass $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$,
     sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{
-        Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig ist.
+        Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig sind.
         Dies ist lediglich zu kontrollieren,
-        dass unsere Basen »nicht offensichtlich falsch« sind.
+        dass unsere Berechnungen \emph{nicht offensichtlich falsch} sind.
     }
 
     \begin{rem*}
@@ -1466,7 +1467,7 @@ gelten.
           3 &-6 &1 &13 &2\\
           -7 &14 &-1 &-32 &-9\\
         \end{smatrix}$
-        über dem Körper ${K=\mathbb{F}_{7}}$ ist.
+        über dem Körper $\mathbb{F}_{7}$ ist.
     \end{exer*}
 
         \begin{soln*}
@@ -1575,33 +1576,34 @@ gelten.
         Beachte hier, dass wir modulo $7$ berechnen sollen.\footnote{
             In \textbf{octave}, \textbf{python}, \textit{etc.}
             benutzt man \texttt{\%} für Moduloberechnungen.
-            In \textbf{octave} kann auch direkt
-            \texttt{(A \* [2, 1, 0, 0, 0].') \% 7}
-            eingeben.
-            In \textbf{python} kann man
-            \texttt{(np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7}
-            eingeben (wenn man vorher \textit{numpy} als \textit{np} konventionsgemäß importiert).
+            In \textbf{octave} gibt man bspw.
+                {\ttfamily (A \* [2, 1, 0, 0, 0].\textquotesingle) \% 7}
+            ein
+            und in \textbf{python} gibt man
+                {\ttfamily (np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7}
+            ein (solange man konventionsgemäß numpy mittels \texttt{import numpy as np;} importiert).
         }
         Bei den o.\,s. Lösungen kommen
-            $%
+
+            \begin{mathe}[mc]{rclqcqrclcl}
                 A\cdot \begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
-                =\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
-            $
-        und
-            $%
-                A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}
-                =\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector}
-                =\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
-            $
+                &= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+                &\text{und}
+                &A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}
+                &= &\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector}
+                &= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+            \end{mathe}
+
         raus, sodass wir erleichtert sein können,
         dass unsere Basiselemente richtig sind.
-        (Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
+
+        Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
         Da müssen wir einfach prüfen, dass die Zeilenstufenform richtig berechnet wurde,
-        um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.)
+        um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.
     \end{rem*}
 
     \begin{exer*}
-        Bestimmen den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\mathbf{F}_{7}$).
+        Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\mathbb{F}_{7}$).
     \end{exer*}
 
         \begin{soln*}