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@@ -6414,27 +6414,30 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                 Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
                 reicht es aus wie oben zu zeigen,
                 dass ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig sind.
-                Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig
-                mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$.
-                \textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
-                Es gilt nun
+                Für $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ gelten nun folgende Implikationen:
 
-                    \begin{mathe}[mc]{rclql}
-                        \sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}
-                            &= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})
-                                &\text{(siehe oben)}\\
-                            &= &\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})
-                                &\text{wegen Linearität}\\
-                            &= &\psi(\zerovector)
-                                &\text{per Voraussetzung}\\
-                            &= &\zerovector
-                                &\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020})}.\\
-                    \end{mathe}
+                    \begin{longmathe}[mc]{RCL}
+                        \sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector
+                            &\Longrightarrow
+                                &\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})=\psi(\zerovector)\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})=\zerovector\\
+                                &&\text{wegen Linearität von $\psi$ und \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}}\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector\\
+                                &&\text{per Konstruktion von $w_{i}$}\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}\\
+                                &&\text{weil ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$ linear unabhängig ist.}\\
+                    \end{longmathe}
 
-                Wegen linearer Unabhängigkeit von ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$,
-                folgt hieraus, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
-                Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit von ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ bewiesen.
-                Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
+                Damit gilt
+                    ${\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector
+                    \Rightarrow
+                    c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}}$
+                für alle $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$.
+                Also ist ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig.
+                Da ${w_{i}\in\range(\phi)}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
                 erschließt sich aus der linearen Unabhängigkeit
                     \fbox{$d\leq\dim(\range(\phi))$}
                 (siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}).
@@ -6468,30 +6471,35 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                 Wir zeigen nun, dass
                     $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$
                 linear unabhängig ist.
-                Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig
-                mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector$.
-                \textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
-                Es gilt nun
+                Für $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ gelten nun folgende Implikationen:
 
-                    \begin{mathe}[mc]{rclql}
-                        \psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})
-                            &= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})
-                                &\text{wegen Linearität}\\
-                            &= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}
-                                &\text{per Konstruktion}\\
-                            &= &\zerovector
-                                &\text{per Voraussetzung}.\\
-                    \end{mathe}
+                    \begin{longmathe}[mc]{RCL}
+                        \sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector
+                            &\Longrightarrow
+                                &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})=\zerovector\\
+                                &&\text{per Konstruktion von $x_{i}$}\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})=\zerovector\\
+                                &&\text{wegen Linearität von $\psi$}\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}\in\ker(\psi)=\{\zerovector\}\\
+                                &&\text{wegen \uline{Injektivität} von $\psi$ + \cite[Lemma~6.1.4]{sinn2020}}\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector\\
+                            &\Longrightarrow
+                                &c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}\\
+                                &&\text{weil ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$ linear unabhängig ist.}\\
+                    \end{longmathe}
 
-                Darum $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}\in\ker(\psi)=\{\zerovector\}$
-                wegen \uline{Injektivität} von $\psi$ (siehe \cite[Lemma~6.1.4]{sinn2020}).
-                Also $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$,
-                woraus sich ergibt, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$,
-                weil ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig ist.
-                Darum haben wir die lineare Unabhängigkeit von $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ bewiesen.
+                Damit gilt
+                    ${\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector
+                    \Rightarrow
+                    c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}}$
+                für alle $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$.
+                Also ist ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$ linear unabhängig.
 
                 Da $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ linear unabhängig ist
-                und $x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
+                und ${x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
                 folgt \fbox{$%
                     d\leq\dim(\range(\psi\circ\phi))
                     \textoverset{Defn}{=}\rank(\psi\circ\phi)%