diff --git a/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf new file mode 100644 index 0000000..0c40fd6 Binary files /dev/null and b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf differ diff --git a/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex new file mode 100644 index 0000000..4a57c02 --- /dev/null +++ b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex @@ -0,0 +1,1872 @@ +%% ******************************************************************************** +%% AUTHOR: Raj Dahya +%% CREATED: 9. März 2020 +%% EDITED: 9. 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******************************************************************************** + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/A6.tex +%% ******************************************************************************** + +%% AUFGABE 6 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\setcounternach{section}{6} +\section[]{(Klausur${}_{1}$, WiSe 2020/2021)} + \label{ueb:1:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +Es sSei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$. +Eine lineare Abbildung ${\phi:V\to V}$ heißt dann \emph{stark kontrahierend}, +wenn $\exists{n\in\ntrlpos:~}\phi^{n}=0(\cdot)$. + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/A6a.tex +%% ******************************************************************************** + +%% AUFGABE 6a +\headingTeilaufgabe{6a} + +\begin{claim*} + Sei ${\phi:V\to V}$ linear. + Dann gilt $\phi$ \emph{stark kontrahierend} $\Rightarrow$ $\phi$ nicht invertierbar. +\end{claim*} + +Es gibt hierfür mehrere Ansätze. +In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$, +und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}. + +Als möglicherweise einfachtsten Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren. + +\setcounternach{enumi}{1} +\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} + \item + \textbf{Zu zeigen}, $\phi$ sei nicht invertierbar. + Angenommen, dies sei nicht der Fall. + Aus \textbf{Lemma 6.3.2} im Skript (siehe insbes. den Beweis dort) + ist die Menge der invertierbaren lineare Abbildungen + unter „Multiplikation“ (d.\,h. Komposition) abgeschlossen. + Darum sind + $\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\, + alle invertierbar. + Insbesondere muss $\phi^{n}(=0(\cdot))$ \fbox{invertierbar} sein. + Da $V\neq\{\zerovector\}$ ist die $0(\cdot)$-Abbildung \fbox{nicht invertierbar}. + Widerspuch! + Also ist $\phi$ nicht invertierbar. + \enndeOfProof + \item + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\phi$ nicht surjektiv ist. + Angenommen, dies sei nicht der Fall. + Aus \textbf{Satz 2.3.6(1)} im Skript (siehe insbes. den Beweis) + sind surjektive Abbildungen unter Komposition abgeschlossen. + Darum sind + $\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\, + alle surjektiv. + Insbesondere muss $\phi^{n}$ surjektiv sein. + Da $\phi^{n}$ linear ist, muss also \fbox{$\range(\phi^{n})=V$} gelten. + Da $\phi^{n}=0(\cdot)$, gilt aber $\range(\phi^{n})=\{\zerovector\}$. + Darum muss $V=\{\zerovector\}$ gelten, was der Voraussetzung auf $V$ widerspricht. + Darum haben wir einen Widerspruch erreicht. + Also ist $\phi$ nicht surjektiv, w.z.z.w. + \enndeOfProof + \item + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\phi$ nicht injektiv ist. + Angenommen, dies sei nicht der Fall. + Aus \textbf{Satz 2.3.6(1)} im Skript (siehe insbes. den Beweis) + sind injektive Abbildungen unter Komposition abgeschlossen. + Darum sind + $\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\, + alle injektiv. + Insbesondere muss $\phi^{n}$ injektiv sein. + Da $\phi^{n}$ linear ist, muss also \fbox{$\ker(\phi^{n})=\{\zerovector\}$} gelten. + Da $\phi^{n}=0(\cdot)$, gilt aber $\ker(\phi^{n})=V$ (weil $\phi^{n}(u)=\zerovector$ für alle $u\in V$). + Darum muss $\{\zerovector\}=V$ gelten, was der Voraussetzung auf $V$ widerspricht. + Darum haben wir einen Widerspruch erreicht. + Also ist $\phi$ nicht injektiv, w.z.z.w. + \enndeOfProof +\end{enumerate} + +Als direkter Ansatz kann man auf der Ebene von Vektoren argumentieren +und konstruktiv vorgehen. + +\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} + \setcounternach{enumi}{4} + \item + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$, d.\,h. dass $\phi$ nicht injektiv ist. + Wir zeigen dies direkt. + Da $V\neq\{\zerovector\}$ existiert ein $v\in V\ohne\{\zerovector\}$. + Betrachten wir die Elemente: + + \begin{mathe}[mc]{ccccc} + (\zerovector\neq)v=\phi^{0}(v), + &\phi^{1}(v), + &\phi^{2}(v), + &\ldots, + &\phi^{n}(v)(=\zerovector)\\ + \end{mathe} + + Dann existiert ein $k\in\ntrlzero$ mit $1\leq k0$. + (Anhand Elementarkenntnisse wissen wir, dass dies zu $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$ äquivalent ist, + was wiederum zu der Nichtinjektivität von $\phi$ äquivalent ist, + was die Nichtinvertierbarkeit von $\phi$ impliziert.)\\ + \forceindent + O.\,E. können wir auch annehmen, dass $n$ \uline{minimal} gewählt wird, so dass $\phi^{n}=0(\cdot)$.\\ + \textbf{Fall 1.} $n=1$. + Dann gilt $\phi=\phi^{1}=0(\cdot)$, + woraus sich $\ker(\phi)=V$ und $\dim(\ker(\phi))=\dim(V)>0$ ergibt, + da $V\neq\{\zerovector\}$.\\ + \textbf{Fall 2.} $n>1$. + Dann gilt $\phi\circ\phi^{n-1}=\phi^{n}=0(\cdot)$, + woraus sich \fbox{$\range(\phi^{n-1})\subseteq\ker(\phi)$}\textsuperscript{~($\ast$)} ergibt. + Nun, wegen \uline{Minimalität} von $n$ kann $\phi^{n-1}=0(\cdot)$ \uline{nicht} gelten. + Es gilt nun + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \phi^{n-1}\neq 0(\cdot) + &\Longrightarrow + &\range(\phi^{n-1})\neq\{\zerovector\}\\ + &\Longrightarrow + &\dim(\range(\phi^{n-1}))>0\\ + &\Longrightarrow + &\dim(\ker(\phi))\geq\dim(\range(\phi^{n-1}))>0.\\ + \end{mathe} + + In der letzten Aussage gilt die erste Ungleichung gilt wegen ($\ast$). + + Darum gilt in allen Fällen $\dim(\ker(\phi))>0$, wzzw. + \enndeOfProof +\end{enumerate} + +\begin{punktschema} + 3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\ + \hdashline + 2 &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\ + &es fehlte an Ausführlichkeit (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\ + &oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\ + &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\ + \hdashline + 1 &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt, + od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\ + \hdashline + 0 &sonst.\\ +\end{punktschema} + +{\footnotesize +\textbf{Bemerkung.} +Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt, +kann man in Wirklichkeit hier kein Schema festlegen. +Stattdessen musste ich über die Qualität ein Urteil treffen. +In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man +vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend +argumentierte. +Ab dann musste ich anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementieren. +Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug. +Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens auf $0$ Pkt gegeben, +aber diese wurde verschont, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt. +Es gab einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag, +aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben, +sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente. +} + +\clearpage + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/A6b.tex +%% ******************************************************************************** + +%% AUFGABE 6b +\headingTeilaufgabe{6b} + +\begin{claim*} + Sei ${\phi:V\to V}$ linear und \emph{stark kontrahierend}. + Sei $v\in V$ mit $v\neq\zerovector$ und $\phi(v)\neq\zerovector$. + Dann gilt $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$. +\end{claim*} + +Beachte, dass (offensichtlich) + $\zerovector\in\ker(\phi)$ + und + $\zerovector\in\range(\phi)$ +gelten, sodass $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\supseteq\{\zerovector\}$. +Was wir also eigentlich in dieser Behauptung zeigen, ist + $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\supset\{\zerovector\}$ (strikte Inklusion), +d.\,h. dass ein Element $u\in V\ohne\{\zerovector\}$ existiert, +so dass \uline{dasselbe} Element $u$ sowohl in $\ker(\phi)$ +als auch in $\range(\phi)$ liegt. + +Es gibt hierfür mehrere Ansätze. +In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$, +und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}. + +\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} + \item + \textbf{Zu zeigen:} Es gibt ein Element + $u\in V\ohne\{\zerovector\}$ + mit $u\in\ker(\phi)$ und $u\in\range(\phi)$. + + Um ein solches $u$ zu konstruieren, betrachten wir die Elemente: + + \begin{mathe}[mc]{ccccc} + v=\phi^{0}(v), + &\phi^{1}(v), + &\phi^{2}(v), + &\ldots, + &\phi^{n}(v)(=\zerovector)\\ + \end{mathe} + + Sei $k\in\ntrlzero$ \uline{minimal} mit $\phi^{k}(v)=\zerovector$. + Da $\phi^{n}(v)=\zerovector$, ist dies wohldefiniert. + Da + $\phi^{0}(v)\neq\zerovector$ + und + $\phi^{1}(v)\neq\zerovector$, + gilt $k\geq 2$.\\ + \forceindent + Darum können wir den Vektor, $u:=\phi^{k-1}(v)$ betrachten. + Wegen \uline{Minimalität} von $k$ gilt $u\neq\zerovector$. + Da $k\geq 2$, gilt $u=\phi(\phi^{k-2}(v))\in\range(\phi)$. + Und per Wahl von $k$ gilt $\phi(u)=\phi(\phi^{k-1}(v))=\phi^{k}(v)=\zerovector$, + sodass $u\in\ker(u)$ gilt. + Darum haben wir ein passendes Element gefunden, + und die Behauptung ist bewiesen. + \enndeOfProof + \item + \textbf{Zu zeigen:} $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$. + + Angenommen, dies sei nicht der Fall. + Dann + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag{$\star$} + \ker(\phi)\cap\range(\phi) &= &\{\zerovector\}.\\ + \end{mathe} + + Sei $k\in\ntrlzero$ \uline{minimal} mit $\phi^{k}(v)=\zerovector$. + Da $\phi^{n}(v)=\zerovector$, ist dies wohldefiniert + und per Voraussetzung auf $v$ gilt $k\geq 2$.\\ + \forceindent + Man betrachte nun $u:=\phi^{k-1}(v)$. + Wegen \uline{Minimalität} von $k$ gilt $u\neq\zerovector$. + Da $k\geq 2$, gilt $u=\phi(\phi^{k-2}(v))\in\range(\phi)$. + Und per Wahl von $k$ gilt $\phi(u)=\phi(\phi^{k-1}(v))=\phi^{k}(v)=\zerovector$, + sodass $u\in\ker(u)$ gilt. + Darum + $% + u\in\ker(\phi)\cap\range(\phi)% + \overset{(\star)}{=}\{\zerovector\}% + $. + Also $\phi^{k-1}(v)=u=\zerovector$, was ein Widerspruch zur \uline{Minimalität} von $k$ ist. + Da wir einen Widerspruch erreicht haben, + gilt doch $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$. + \enndeOfProof +\end{enumerate} + +Beachte, dass diese Ansätze eigentlich äquivalent sind: +in dem II. Ansatz haben wir das gesuchte Element in I konstruiert. +Aber die Zielsetzungen sind anders. + +\begin{punktschema} + 3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\ + \hdashline + 2 &Fehlte was Kleines (aber Wichtiges), wie, + explizit zu sagen/zeigen, + dass $\phi^{k-1}(v)\in\range(\phi)$ + oder dass $\phi^{k-1}(v)\in\ker(\phi)$ (aber wenn beides fehlten kriegt man natürlich weniger als $2$), + oder dass $k\geq 2$ (was nötig ist, damit man $\phi^{k-1}(v)=\phi^{k-2}(v)$ schreiben darf). + Oder man hat mit $k=n-1$ gearbeitet, obwohl das nicht unbedingt stimmt (außer man wählte $n$ minimal für $v$, aber das muss man dann sagen).\\ + \hdashline + 1,5 &Der Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt oder ausführlich ausgeführt. + Es lag zumindest vor, dass man ein gemeinsames Element in $\ker(\phi)$ und im $\range(\phi)$ + zeigen musste.\\ + \hdashline + 1 &Der Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt oder ausführlich ausgeführt. + Unterschied zu 1,5: Entweder fehlte zu viel oder war an Stellen inkohärent.\\ + \hdashline + 0 &sonst.\\ +\end{punktschema} + +{\footnotesize +\textbf{Bemerkung.} Hier lagen ähnliche Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen. +Dafür wandte ich ähnliche Prinzipien an wie in der Bemerkung am Ende von A6a. +Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten: + +\begin{kompaktitem} + \item Denkfehler im Ansatz: Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht, + dann eins in $\range(\phi)$, aber nicht ein \uline{gemeinsames Element}. + \item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind): + Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf, + muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$. + Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes, + sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen. + \item Zu unterscheiden dazwischen, wann etwas trivial ist, und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll. + \item Man argumentiert für Ergebnisse, + die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden sind. + Das weist darauf hin, + dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist. + Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist, + ist es generell sinnvoll, + sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen + und wie sie konzipiert sind. +\end{kompaktitem} +} + +\clearpage + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/A6c.tex +%% ******************************************************************************** + +%% AUFGABE 6c +\headingTeilaufgabe{6c} + +Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$, +so dass $\phi\neq 0(\cdot)$ +und so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist. +Äquivalent können wir eine passende +Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$, +konstruieren. + +Hier ein paar Möglichkeiten: + +\begin{kompaktitem} + \item + $A:=\begin{matrix}{cc} + 1 &-1\\ + 1 &-1\\ + \end{matrix}$. + Dann ist $A$ offensichtlich ungleich $\zeromatrix$ (die Nullmatrix). + Und $A^{2}=\begin{matrix}{cc} + 0 &0\\ + 0 &0\\ + \end{matrix}$, + sodass $A$ (bzw. $\phi_{A}$) auch \kurs{stark kontrahierend} ist. + \item + $A:=\begin{matrix}{cc} + 0 &1\\ + 0 &0\\ + \end{matrix}$. + Dann ist $A$ offensichtlich ungleich $\zeromatrix$. + Und $A^{2}=\begin{matrix}{cc} + 0 &0\\ + 0 &0\\ + \end{matrix}$, + sodass $A$ (bzw. $\phi_{A}$) auch \kurs{stark kontrahierend} ist. +\end{kompaktitem} + +Es gibt natürlich viel mehr Möglichkeiten. + +\begin{punktschema} + 2 &Konstruktion beide Eigenschaften erfüllt + stark kontrahierend begründet.\\ + \hdashline + 1 &Konstruktion beide Eigenschaften erfüllt, aber unbegründet.\\ + \hdashline + 0 &Konstruktion erfüllt mind. eine der zwei Bedingungen nicht.\\ +\end{punktschema} + +\clearpage + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/A6d.tex +%% ******************************************************************************** + +%% AUFGABE 6d +\headingTeilaufgabe{6d} + +Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$, +so dass $\phi$ nicht invertierbar +und so dass $\phi$ \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend} ist. +Äquivalent können wir eine passende +Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$, +konstruieren. + +Hier ein paar Möglichkeiten: + +\begin{kompaktitem} + \item + $A:=\begin{matrix}{cc} + 1 &1\\ + 1 &1\\ + \end{matrix}$. + Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) + Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} + 2 &2\\ + 2 &2\\ + \end{matrix}=2A$. + Darum + $A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$, + usw. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. + \item + $A:=\begin{matrix}{cc} + p &1-p\\ + p &1-p\\ + \end{matrix}$ + für $p\in[0,1]$. + Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) + Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} + p &1-p\\ + p &1-p\\ + \end{matrix}=A$. + Darum + $A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$, + usw. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. + \item + $A:=\begin{matrix}{cc} + 1 &0\\ + 1 &0\\ + \end{matrix}$. + Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + (Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.) + Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} + 1 &0\\ + 1 &0\\ + \end{matrix}=A$. + Darum + $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, + usw. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. + \item + $A:=\begin{matrix}{cc} + 1 &0\\ + 0 &0\\ + \end{matrix}$. + Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) + Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} + 1 &0\\ + 0 &0\\ + \end{matrix}=A$. + Darum + $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, + usw. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. +\end{kompaktitem} + +Es gibt natürlich viel mehr Möglichkeiten. + +\begin{punktschema} + 2 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 2 Eigenschaften begründet.\\ + \hdashline + 1,5 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 1 Eigenschaft begründet.\\ + \hdashline + 1 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 0 Eigenschaft begründet.\\ + \hdashline + 0 &sonst.\\ +\end{punktschema} + +{\footnotesize +\textbf{Bemerkung.} +Es gab keine Teilpunkte, wenn $A$ invertierbar war. +Der Grund hierfür war, dass, +\emph{auch wenn man die anderen Aufgaben nicht beweisen konnte}, +man aus 6(a) hätte verstehen müssen, +dass + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag{$\star$} + \text{stark kontrahierend} &\Longrightarrow &\text{nicht invertierbar}\\ + \end{mathe} + +und damit trivialerweise + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \text{invertierbar} &\Longrightarrow &\text{nicht stark kontrahierend}\\ + \end{mathe} + +gelten. Der Zweck von Aufgabe 6(d) ist zu zeigen, +dass die Implikation in ($\star$) strikt ist, und dass die Umkehrung von ($\star$): + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \text{nicht invertierbar} &\Longrightarrow &\text{stark kontrahierend}\\ + \end{mathe} + +nicht gilt. Dies zeigt man, indem man ein $\phi$ findet, die nicht invertierbar +ist und nicht \emph{stark kontrahierend} ist. +} + +\end{document}