diff --git a/docs/zusatz.pdf b/docs/zusatz.pdf index ab5f25e..7607019 100644 Binary files a/docs/zusatz.pdf and b/docs/zusatz.pdf differ diff --git a/docs/zusatz.tex b/docs/zusatz.tex index 5873f54..08ed7e1 100644 --- a/docs/zusatz.tex +++ b/docs/zusatz.tex @@ -17,23 +17,23 @@ %% | %% ---- parameters.tex; %% | -%% ---- ../loesungen/src/index.tex; +%% ---- ########; %% | %% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-type.tex; +%% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-packages.tex; +%% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-parameters.tex; +%% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-macros.tex; +%% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-environments.tex; +%% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-layout.tex; +%% ---- ########; %% | -%% ---- ../loesungen/src/setup-localmacros.tex; +%% ---- ########; %% | %% ---- front/index.tex; %% | @@ -62,1272 +62,6 @@ %% FILE: parameters.tex %% ******************************************************************************** -%% ******************************************************************************** -%% FILE: ../loesungen/src/index.tex -%% ******************************************************************************** - 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Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$. - Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ - gegeben durch + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ \begin{mathe}[mc]{ccc} u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, @@ -1557,7 +290,7 @@ gelten. \end{mathe} gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. - Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! \end{soln*} \begin{qstn} @@ -1583,11 +316,11 @@ gelten. Da $\dim(U)>\dim(V)$, kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen von $U$ nach $V$ geben. - Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«, + Also lauten die Antworten auf \textbf{b)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, - lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«. + lautet die Antwort auf \textbf{b')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. - Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen. + Es bleiben nur noch \textbf{c)} und \textbf{c')} zu bestimmen. Sei ${\phi:U\to V}$ eine lineare Ausdehnung von i)--iii). Dann wegen Bedingungen {i) + ii)} und Linearität gilt @@ -1600,15 +333,16 @@ gelten. \end{mathe} Die letzte Gleichung gilt, weil $\{v_{1},v_{2}\}$ - linear unabhängig ist\footnote{ + linear unabhängig ist,\footnote{ ich lasse wieder den Beweis weg, aber man sollte das machen - }, + } und somit eine Basis von dem $2$-dimensionalen Raum, $V$, ist. Darum ist $\range(\phi)$ surjektiv. - Da $\phi$ beliebig war haben wir tatsächlich gezeigt, + Da $\phi$ beliebig war, + haben wir tatsächlich gezeigt, dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iii) surjektiv sind. - Darum lautet die Antwort auf c) »Ja« und auf c') »Nein«. + Darum lautet die Antwort auf \textbf{c)} \fbox{Ja} und auf \textbf{c')} \fbox{Nein}. \end{soln*} %% AUFGABE 2 @@ -1619,9 +353,8 @@ gelten. \label{sec:2} \let\sectionname\altsectionname - Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$. - Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ - gegeben durch + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ \begin{mathe}[mc]{cccc} u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, @@ -1672,7 +405,8 @@ gelten. weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)} für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. - Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge $\{u_{1},u_{2}\}$ + Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge + $\{u_{1},u_{2}\}$ zu einer Basis $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ von $U$. @@ -1692,7 +426,7 @@ gelten. \end{mathe} gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. - Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! \end{soln*} \begin{qstn} @@ -1716,15 +450,15 @@ gelten. Da $\dim(U)>\dim(V)$, kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen von $U$ nach $V$ geben. - Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«, + Also lauten die Antworten auf \textbf{b)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, - lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«. + lautet die Antwort auf \textbf{b')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. - Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen. + Es bleiben nur noch \textbf{c)} und \textbf{c')} zu bestimmen. Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis wir $v'_{3},v'_{4}$ beliebig auswählen konnten. - Zu c) wähle $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$ + Zu \textbf{c)} wähle bspw. $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$ und $v'_{4}:=\zerovector$ und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. @@ -1736,25 +470,17 @@ gelten. &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\ + &\supseteq &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\}\\ + &= &V\\ \end{mathe} - und damit eine Basis des 2-dimensionalen Vektorraums, $V$. - Darum gilt - $% - \rank(\phi_{1}) - \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1})) - =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}) - \geq\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\}) - =2 - $, - da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist. - Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(V)$. - Folglich ist $\phi_{1}$ - laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} - surjektiv. - Die Antwort auf c) lautet also »Ja«. + Die letzte Gleichung gilt, + weil \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist + und somit eine Basis des $2$-dimenionalen Vektorraums, $V$ ist. + Da $\range(\phi_{1})\supseteq V$, ist $\phi_{1}$ surjektiv. + Die Antwort auf \textbf{c)} lautet also \fbox{Ja}. - Zu c') wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$ + Zu \textbf{c')} wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$ und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. Wie oben gilt @@ -1765,13 +491,13 @@ gelten. =\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\}) \leq 1 $, - da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$ + da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$ und $v_{1}\neq\zerovector$. Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(V)$. Folglich ist $\phi_{2}$ laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} nicht-surjektiv. - Die Antwort auf c') lautet also »Ja«. + Die Antwort auf \textbf{c')} lautet also \fbox{Ja}. \end{soln*} %% AUFGABE 3 @@ -1782,9 +508,8 @@ gelten. \label{sec:3} \let\sectionname\altsectionname - Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$. - Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ - gegeben durch + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ \begin{mathe}[mc]{ccc} u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, @@ -1829,7 +554,7 @@ gelten. Dann muss $v_{3}=\phi(u_{3})=\phi(u_{1}+u_{2})=\phi(u_{1})+\phi(u_{2})=v_{1}+v_{2}$ gelten. Laut der o.\,s. Gleichung kann dies aber nicht gelten. - Darum lautet die Antwort »Nein«. + Darum lautet die Antwort \fbox{Nein}. Es gibt keine lineare Ausdehnung. \end{soln*} @@ -1841,9 +566,8 @@ gelten. \label{sec:4} \let\sectionname\altsectionname - Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$. - Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ - gegeben durch + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ \begin{mathe}[mc]{ccc} u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, @@ -1905,7 +629,7 @@ gelten. gelten. Insbesondere sind Bedingung {i) + iii)} erfüllt. Also lautet wie oben argumentiert, - die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! \end{soln*} \begin{qstn} @@ -1929,20 +653,20 @@ gelten. Da $\dim(U)<\dim(V)$, kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen von $U$ nach $V$ geben. - Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«, + Also lauten die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, - lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«. + lautet die Antwort auf \textbf{c')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. - Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen. - Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)---iii) erfüllt. - Dann wegen Linearität von $\phi_{1}$ + Es bleiben nur noch \textbf{b)} und \textbf{b')} zu bestimmen. + Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)--iii) erfüllt. + Dann wegen Linearität von $\phi$ und da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist, gilt \begin{mathe}[mc]{rcccccl} - \range(\phi_{1}) - &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\}) - &= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u_{3})\} + \range(\phi) + &= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\}) + &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{3})\} &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\} \end{mathe} @@ -1963,8 +687,8 @@ gelten. Da hier $\phi$ beliebig gewählt wurde, sind alle linearen Ausdehnungen von i)--iii) immer nicht-injektiv. - Darum lautet die Antwort auf b) »Nein« - und auf b') »Ja«. + Darum lautet die Antwort auf \textbf{b)} \fbox{Nein} + und auf \textbf{b')} \fbox{Ja}. \end{soln*} %% AUFGABE 5 @@ -1975,9 +699,8 @@ gelten. \label{sec:5} \let\sectionname\altsectionname - Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$. - Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ - gegeben durch + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ \begin{mathe}[mc]{ccc} u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, @@ -2040,7 +763,7 @@ gelten. gelten. Insbesondere sind Bedingung {i)} erfüllt. Also lautet wie oben argumentiert, - die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! \end{soln*} \begin{qstn} @@ -2064,26 +787,26 @@ gelten. Da $\dim(U)<\dim(V)$, kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen von $U$ nach $V$ geben. - Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«, + Also lauten die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, - lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«. + lautet die Antwort auf \textbf{c')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. - Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen. + Es bleiben nur noch \textbf{b)} und \textbf{b')} zu bestimmen. Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis wir $v'_{2}$ beliebig auswählen konnten. - Zu b) wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$ + Zu \textbf{b)} wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$ und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. - Per Wahl ist $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig. Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ ist, gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ - \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \begin{mathe}[mc]{rcccccccl} \range(\phi_{1}) &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u'_{2}\}) &= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u'_{2})\} &= &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\} + &= &V, \end{mathe} und damit @@ -2098,9 +821,9 @@ gelten. Folglich ist $\phi_{1}$ laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} injektiv. - Die Antwort auf b) lautet also »Ja«. + Die Antwort auf \textbf{b)} lautet also \fbox{Ja}. - Zu b') wähle $v'_{2}:=\zerovector$ + Zu \textbf{b')} wähle $v'_{2}:=\zerovector$ und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. Wie oben gilt @@ -2109,15 +832,14 @@ gelten. \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}) =\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\}) - =1 + \leq 1 $, - da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$ - und $v_{1}\neq\zerovector$. + da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$. Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(U)$. Folglich ist $\phi_{2}$ laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} nicht-injektiv. - Die Antwort auf b') lautet also »Ja«. + Die Antwort auf \textbf{b')} lautet also \fbox{Ja}. \end{soln*} %% AUFGABE 6 @@ -2128,31 +850,424 @@ gelten. \label{sec:6} \let\sectionname\altsectionname -{\itshape - Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Ja« auf nicht-inj. -} + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{4}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 1\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{4} = \begin{svector} 1\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + \makelabel{qstn:6:ch:lin-ext} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{2} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \item + $\phi(u_{4})=v_{4}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist, + und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$, + da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$. + Beachte auch, dass sich diese Verhältnisse in den Outputvektoren wiederspiegeln: + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 10v_{2}-10v_{1} + &= &\begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{3},\\ + v_{1}+v_{2} + &= &\begin{svector} 1\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{4}.\\ + \end{mathe} + + Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren, + weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)} + für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. + + \uline{Erweitere} nun die linear unabhängige Menge + $\{u_{1},u_{2}\}$ + zu einer Basis + $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ + von $U$. + Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$. + Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$ + ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$, + existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + eine lineare Ausdehnung, + ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + \phi(u_{1})=v_{1}, + &\phi(u_{2})=v_{2}, + &\phi(u'_{3})=v'_{3}, + &\phi(u'_{4})=v'_{4}, + \end{mathe} + + gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. + Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iv) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)=\dim(V)$, + sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent + und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent, + da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen + Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität + äquivalent sind. + Darum reicht es aus, nur \textbf{c)} und \textbf{c')} zu behandeln. + + Zu \textbf{c)}, da $\{v_{1},v_{2}\}\subseteq V$ linear unabhängig sind, + wähle $v'_{3},v'_{4}\in V$ so, + dass $\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}$ eine Basis + des $4$-dimensionalen Raums, $V$, bildet. + Sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung + im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. + Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist, + gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \range(\phi_{1}) + &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ + &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\ + \end{mathe} + + und damit $\range(\phi_{1})=V$, + da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}$ eine Basis von $V$ ist. + Folglich ist $\phi_{1}$ surjektiv. + Die Antwort auf \textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}), lautet also \fbox{Ja}. + + Zu \textbf{c')} wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$ + und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung + im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. + Wie oben gilt + $% + \rank(\phi_{2}) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}) + \leq 2 + $, + da \uline{per Wahl} $v'_{3},v'_{4}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}$. + Also, $\rank(\phi_{2})<4=\dim(V)$. + Folglich ist $\phi_{2}$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} + nicht-surjektiv. + Die Antwort auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) lautet also \fbox{Ja}. + \end{soln*} %% AUFGABE 7 +\clearpage \let\altsectionname\sectionname \def\sectionname{Aufgabe} \section[Aufgabe 7]{} \label{sec:7} \let\sectionname\altsectionname -{\itshape - Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Nein« auf nicht-inj. -} + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{4}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 0\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} 0\\ 30\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{4} = \begin{svector} 0\\ 9\\ 0\\ 0\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{2} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \item + $\phi(u_{4})=v_{4}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist, + und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$, + da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$. + Beachte auch, dass sich diese Verhältnisse in den Outputvektoren wiederspiegeln: + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 10v_{2}-10v_{1} + &= &\begin{svector} 0\\ 30\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{3},\\ + v_{1}+v_{2} + &= &\begin{svector} 0\\ 9\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{4}.\\ + \end{mathe} + + Der Rest dieser Aufgabe lässt sich nun genauso wie + bei \Cref{qstn:6:ch:lin-ext} erledigen. + Die Antwort hier lautet also wieder: \fbox{Ja}, + es gibt eine lineare Ausdehnung, die i)--iv) erfüllt. + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iv) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)=\dim(V)$, + sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent + und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent, + da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen + Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität + äquivalent sind. + Darum reicht es aus, nur \textbf{b)} und \textbf{b')} zu behandeln. + + Sei nun ${\phi:U\to V}$ eine beliebige lineare Abbildung, + die i)--iv) erfüllt (laut der letzten Aufgabe existiert mindestens eine). + Da $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist, + können wir dies zu einer Basis + $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ + von $U$ erweitern. + Da $\phi$ eine Ausdehnung und linear ist, + gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \range(\phi) + &= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ + &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}.\\ + \end{mathe} + + Darum gilt + $% + \rank(\phi) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi)) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}) + \leq 3 + $, + da $v_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$. + Also, $\rank(\phi)<4=\dim(V)$. + Folglich ist $\phi$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} + nicht-surjektiv. + Da $\phi$ beliebig war, + haben wir tatsächlich gezeigt, + dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iv) nicht-surjektiv sind. + Darum lautet die Antwort auf + \textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}) \fbox{Nein} + und auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) \fbox{Ja}. + \end{soln*} %% AUFGABE 8 +\clearpage \let\altsectionname\sectionname \def\sectionname{Aufgabe} \section[Aufgabe 8]{} \label{sec:8} \let\sectionname\altsectionname -{\itshape - Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Nein« auf inj + »Ja« auf nicht-inj. -} + Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{3}$ + und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 2\\ 0\\\end{svector}, + &u_{4} = \begin{svector} 0\\ 2\\ 0\\\end{svector},\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 1\\ 3\\ 0\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &v_{4} = \begin{svector} 1\\ 1\\ 1\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + \makelabel{ex:8:ch:lin-ext} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{2} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \item + $\phi(u_{4})=v_{4}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2},u_{4}\}$ linear unabhängig ist, + und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u_{4}\}$, + da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}+u_{4}}$. + Beachte auch, dass sich dieses Verhältnis in den Outputvektoren wiederspiegelt: + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 10v_{2}-10v_{1}+v_{4} + &= &\begin{svector} 11\\ 1\\ 1\\\end{svector} &= &v_{3}.\\ + \end{mathe} + + Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i)--iii)} reduzieren, + weil wegen des o.\,s. Verhältnisses {iv)} + für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird. + + Hier müssen wir nun im Gegensatz zu den anderen Aufgaben \uline{nichts hinzufügen}! + Da $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ linear unabhängig ist, + bildet dies bereits eine Basis des $3$-dimenionalen Raums $U$. + Da $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist + und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$, + existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + eine lineare Ausdehnung, + ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + \phi(u_{1})=v_{1}, + &\phi(u_{2})=v_{2}, + &\phi(u_{3})=v_{3} + \end{mathe} + + gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i)--iii)} erfüllt. + Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iv) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)=\dim(V)$, + sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent + und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent, + da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen + Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität + äquivalent sind. + Darum reicht es aus, nur \textbf{c)} und \textbf{c')} zu behandeln. + + Sei nun ${\phi:U\to V}$ eine beliebige lineare Abbildung, + die i)--iv) erfüllt (laut der letzten Aufgabe existiert mindestens eine). + Da $\phi$ eine Ausdehnung und linear ist + und da $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist, + gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \range(\phi) + &= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u_{3}\})\\ + &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u_{3})\}\\ + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.\\ + \end{mathe} + + Nun ist $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\subseteq V$ linear unabhängig + und bildet somit eine Basis des $3$-dimenionalen Vektorraums, $V$. + Darum gilt $\range(\phi)\supseteq V$, + sodass $\phi$ surjektiv ist. + Da $\phi$ beliebig war, + haben wir tatsächlich gezeigt, + dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iv) surjektiv sind. + Darum lautet die Antwort auf + \textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}) \fbox{Ja} + und auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) \fbox{Nein}. + \end{soln*} + + \begin{rem} + Laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + die für \Cref{ex:8:ch:lin-ext} konstruierte lineare Abbildung, $\phi$, + eindeutig. + Da wir keine freie Wahl trafen, gibt es also \uline{exakt eine} + lineare Abbildung, die i)--iv) erfüllt. + Darum ist die letzte Frage eigentlich + »Ist \uline{die} lineare Ausdehnung injektiv/nicht-injektiv/...?«. + \end{rem} + + \begin{rem} + Wir hätten die o.\,s. Aufgabe so aufstellen können, + dass $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ linear abhängig wäre. + Dann hätte die lineare Ausdehnung den Rang $<3$. + Die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{b)}, \textbf{d)}) würden dann »Nein« lauten, + und auf \textbf{c')}, \textbf{b')}, \textbf{d')} »Ja«. + \end{rem} %% ******************************************************************************** %% FILE: back/index.tex