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# Woche 8 #
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## Hinweise zu ÜB 8-1 ##
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Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume:
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U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄},
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U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}.
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Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich
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- x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0,
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- x ∈ U₂ ⟺ A₂x = 0,
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- x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ,
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wobei
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- A₁ = die 1 x 4 Matrix
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(1 3 -4 -1),
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- A₂ = die 1 x 4 Matrix
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(1 -5 -2 1),
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- A₃ = die 2 x 4 Matrix
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(1 3 -4 -1)
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(1 -5 -2 1).
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1) Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0.
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Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform.
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Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei.
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Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen.
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u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃, x₄=0]
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u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂, x₄=0]
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u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂, x₃=0]
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Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
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und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁.
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Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁.
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2) analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis
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{v₁, v₂, v₃}, wobei
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v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ
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v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ
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v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ.
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3) Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0.
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In Zeilenstufenform wird A₃ zu
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A₃ ~~> (1 3 -4 -1)
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(0 8 -2 -2)
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Also sind x₃ und x₄ frei.
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Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente,
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indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen:
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w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0]
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w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0]
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Wir können diese Vektoren beliebig skalieren.
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Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen:
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w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ
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w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ
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Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
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und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂.
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Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂.
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4) Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen
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U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃}
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= Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃}
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Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂.
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Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig,
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also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf,
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um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen:
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(u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃)
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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= ( 1 0 0 1 0 0 ) ·3, + Z1
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( 0 1 0 0 1 0 )
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( 0 0 1 0 0 1 )
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
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( 0 1 0 0 1 0 ) · -4, + Z2
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( 0 0 1 0 0 1 )
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
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( 0 0 1 8 -2 -1 )
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( 0 0 1 0 0 1 ) · -1 + Z3
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
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( 0 0 1 8 -2 -1 )
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( 0 0 0 8 -2 -2 )
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Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin:
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{u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab.
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Darum gilt
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U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁},
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sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist.
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Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂,
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erhalten wir
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U₁ + U₂ = V.
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## Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
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Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten.
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Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist,
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und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass
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U₁ + U₂ = V.
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## Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
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Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten
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U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}
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= {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ
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U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}
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= {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ
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und damit gilt
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U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥
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[hierfür braucht man ein Lemma (1)]
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= (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
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[hierfür braucht man ein Lemma (2)]
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= (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥
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= (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
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[hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet]
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= ({0})^⊥,
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da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
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und damit gibt es kein gemeinsames Element
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in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor
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= V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
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Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen.
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- ( ) ÜB7
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- evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest).
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- ( ) ÜB8 / Hinweise
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- Aufgabe 8-1.
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- Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴.
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- Berechne Basisergänzungen {u₁}
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---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden,
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um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen.
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- Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen.
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- Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁
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- Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}.
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- U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄).
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- U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃}
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---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an,
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um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren.
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- Aufgabe 8-1. Siehe [/notes](../../notes/berechnungen_wk8.md).
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- Aufgabe 8-2.
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- [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)]
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- (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
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- (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis
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- (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
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- [Skript, Korollar 5.4.4]
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- (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig.
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- Da |A|=d+1=dim(ℝ[x]_d) ist A eine Basis.
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