master > master: SKA 4-10 direkter Beweis vom Lemma

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@ -1341,6 +1341,8 @@
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}}
\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
\def\domain{\mathop{\text{\textup dom}}}
\def\range{\mathop{\text{\textup ran}}}
\def\id{\text{\textup id}}
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
\def\divides{\mathbin{\mid}}
@ -3706,7 +3708,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
Sei $n>2$.
Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.\\
@ -3740,62 +3742,101 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Wir zeigen dies per Induktion über $|Y|$ mit den Fällen $|Y|\leq 1$ als Induktionsanfang.
Wir zeigen dies direkt. Seien $m:=|X|$ und $n:=|Y|$.
Wegen Endlichkeit liegen $m,n$ in $\ntrlzero$.
Falls $m=0$ oder $n=0$, so gilt $X=\leer$ oder $Y=\leer$ und damit
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
|X\times Y|
&= &|\leer|
&= &0
&= &m\cdot n
&= &|X|\cdot|Y|.\\
\end{mathe}
Beschränken wir uns also auf den Famm $m,n>0$.
Per Definition von Kardinalität (siehe \cite[\S{}3.3, S.54]{sinn2020})
existieren also Bijektionen
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
f &: &\{0,1,\ldots,m-1\} &\to &X,\\
g &: &\{0,1,\ldots,n-1\} &\to &Y.\\
\end{mathe}
(Wir fangen aus praktischen Gründen mit $0$ statt $1$ an.)\\
Definiere nun
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
h &: &\{0,1,\ldots,mn-1\} &\mapsto &X\times Y\\
&: &k &\mapsto &(f(\modfn(k,m)), g([k/m])),\\
\end{mathe}
wobei ${[\cdot]:\reell\to\intgr}$ die Gaußklammerfunktion,
die reelle Zahlen \emph{abrundet}.\\
\textbf{Zu zeigen:} $h$ ist eine wohldefinierte Bijektion.
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
Sei $Y$ eine endliche Menge mit $|Y|=0$.
Also $Y=\leer$.
Darum
\begin{mathe}[mc]{rcccccccccl}
|X\times Y|
&= &|X\times\leer|
&= &|\leer|
&= &0
&= &|X|\cdot 0
&= &|X|\cdot|Y|.\\
\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
Für alle $k\in\{0,1,\ldots,mn-1\}$
gilt $i:=\modfn(k,m)\in\{0,1,\ldots,m-1\}=\domain(f)$
und $j:=[k/m]\in\{0,1,\ldots,n-1\}=\domain(g)$,
sodass $f(i)\in X$ und $g(j)\in Y$
und damit $h(k)=(f(i),g(j))\in X\times Y$.
\item[\uwave{{\bfseries Injektivität:}}]
Seien $k_{1},k_{2}\in\{0,1,\ldots,mn-1\}$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $h(k_{1})=h(k_{2})\Rightarrow k_{1}=k_{2}$.\\
Nach \cite[Satz 3.4.2]{sinn2020}
existieren (eindeutige) Werte
${q_{1},q_{2}\in\intgr}$ und
${r_{1},r_{2}\in\{0,1,\ldots,m-1\}}$,
so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
k_{1} &= &mq_{1}+r_{1},\\
k_{2} &= &mq_{2}+r_{2}.\\
\end{mathe}
Daraus lässt sich ableiten,
dass
$\modfn(k_{1},m)=r_{1}$,
$\modfn(k_{2},m)=r_{2}$,
$[k_{1}/m]=q_{1}$,
und
$[k_{2}/m]=q_{2}$.
Darum gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
h(k_{1})=h(k_{2})
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
&(f(r_{1}),g(q_{1}))=(f(r_{2}),g(q_{2}))\\
&\Longrightarrow
&f(r_{1})=f(r_{2})\,\text{und}\,g(q_{1})=g(q_{2})\\
&\Longrightarrow
&r_{1}=r_{2}\,\text{und}\,q_{1}=q_{2}\\
&&\text{da $f,g$ injektiv sind}\\
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\Longrightarrow}
&k_{1}=mq_{1}+r_{1}=mq_{2}+r_{2}=k_{2}.\\
\end{mathe}
\item[]
Sei $Y$ eine $1$-elementige Menge.
Dann $Y=\{y\}$ für ein Objekt, $y$.
Es ist einfach zu sehen, dass
${x\in X\mapsto (x,y)\in X\times Y}$
eine Bijektion ist.
Folglich sind $X$ und $X\times Y$ gleichmächtig.
D.\,h. $|X\times Y|=|X|=|X|\cdot 1=|X|\cdot|Y|$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
Sei $n>1$.
Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
für alle $n-1$-elementigen Mengen, $Y'$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
\textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ gilt.\\
Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
$|X\times Y'|=|X|\cdot|Y'|=|X|\cdot(n-1)$.\\
Wegen Disjunktheit von $Y'$ und $\{y_{0}\}$,
sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
Es folgt
\begin{longmathe}[mc]{RCLqL}
|X\times Y|
&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|
&\text{wegen Disjunktheit}\\
&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1
&\text{wegen Fall für $1$-elem. Mengen}\\
&= &|X|\cdot n
&\text{wegen rekursiver Defn von Multiplikation}\\
&= &|X|\cdot |Y|.\\
\end{longmathe}
\item[\uwave{{\bfseries Surjektivität:}}]
Sei $(x,y)\in X\times Y$.
\textbf{Zu zeigen:} $(x,y)\in\range(h)$.\\
Wegen der Surjektivität von $f,g$ existieren nun
$i\in\{0,1,\ldots,m-1\}$ und
$j\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
so dass $f(i)=x$ und $g(j)=y$.\\
Setze nun $k:=mj+i$.\\
Dann $\modfn(k,m)=i$ und $[k/m]=j$,
sodass $h(k)=(f(i),g(j))=(x,y)$.\\
Also gilt $(x,y)\in\range(h)$.
\end{kompaktenum}
Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
Darum ist $h$ ist eine wohldefinierte Bijektion,
woraus sich per Definition von Kardinalität direkt ergibt,
dass $|X\times Y|=mn=|X|\cdot|Y|$.
\end{proof}
\end{einzug}

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