master > master: SKA 4-10 direkter Beweis vom Lemma
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2e211d9f78
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@ -1341,6 +1341,8 @@
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\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}}
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\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
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\def\domain{\mathop{\text{\textup dom}}}
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\def\range{\mathop{\text{\textup ran}}}
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\def\id{\text{\textup id}}
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\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
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\def\divides{\mathbin{\mid}}
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@ -3706,7 +3708,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>2$.
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Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
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Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.\\
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@ -3740,62 +3742,101 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir zeigen dies per Induktion über $|Y|$ mit den Fällen $|Y|\leq 1$ als Induktionsanfang.
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Wir zeigen dies direkt. Seien $m:=|X|$ und $n:=|Y|$.
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Wegen Endlichkeit liegen $m,n$ in $\ntrlzero$.
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Falls $m=0$ oder $n=0$, so gilt $X=\leer$ oder $Y=\leer$ und damit
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
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|X\times Y|
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&= &|\leer|
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&= &0
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&= &m\cdot n
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&= &|X|\cdot|Y|.\\
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\end{mathe}
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Beschränken wir uns also auf den Famm $m,n>0$.
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Per Definition von Kardinalität (siehe \cite[\S{}3.3, S.54]{sinn2020})
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existieren also Bijektionen
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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f &: &\{0,1,\ldots,m-1\} &\to &X,\\
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g &: &\{0,1,\ldots,n-1\} &\to &Y.\\
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\end{mathe}
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(Wir fangen aus praktischen Gründen mit $0$ statt $1$ an.)\\
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Definiere nun
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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h &: &\{0,1,\ldots,mn-1\} &\mapsto &X\times Y\\
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&: &k &\mapsto &(f(\modfn(k,m)), g([k/m])),\\
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\end{mathe}
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wobei ${[\cdot]:\reell\to\intgr}$ die Gaußklammerfunktion,
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die reelle Zahlen \emph{abrundet}.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $h$ ist eine wohldefinierte Bijektion.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Sei $Y$ eine endliche Menge mit $|Y|=0$.
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Also $Y=\leer$.
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Darum
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\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
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Für alle $k\in\{0,1,\ldots,mn-1\}$
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gilt $i:=\modfn(k,m)\in\{0,1,\ldots,m-1\}=\domain(f)$
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und $j:=[k/m]\in\{0,1,\ldots,n-1\}=\domain(g)$,
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sodass $f(i)\in X$ und $g(j)\in Y$
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und damit $h(k)=(f(i),g(j))\in X\times Y$.
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccccl}
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|X\times Y|
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&= &|X\times\leer|
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&= &|\leer|
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&= &0
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&= &|X|\cdot 0
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&= &|X|\cdot|Y|.\\
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\item[\uwave{{\bfseries Injektivität:}}]
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||||
Seien $k_{1},k_{2}\in\{0,1,\ldots,mn-1\}$ beliebig.
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\textbf{Zu zeigen:} $h(k_{1})=h(k_{2})\Rightarrow k_{1}=k_{2}$.\\
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Nach \cite[Satz 3.4.2]{sinn2020}
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existieren (eindeutige) Werte
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${q_{1},q_{2}\in\intgr}$ und
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${r_{1},r_{2}\in\{0,1,\ldots,m-1\}}$,
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so dass
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1:\beweislabel]
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k_{1} &= &mq_{1}+r_{1},\\
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k_{2} &= &mq_{2}+r_{2}.\\
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\end{mathe}
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\item[]
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Sei $Y$ eine $1$-elementige Menge.
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Dann $Y=\{y\}$ für ein Objekt, $y$.
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Es ist einfach zu sehen, dass
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${x\in X\mapsto (x,y)\in X\times Y}$
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eine Bijektion ist.
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Folglich sind $X$ und $X\times Y$ gleichmächtig.
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D.\,h. $|X\times Y|=|X|=|X|\cdot 1=|X|\cdot|Y|$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>1$.
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Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
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für alle $n-1$-elementigen Mengen, $Y'$.
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Daraus lässt sich ableiten,
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dass
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$\modfn(k_{1},m)=r_{1}$,
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$\modfn(k_{2},m)=r_{2}$,
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$[k_{1}/m]=q_{1}$,
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und
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||||
$[k_{2}/m]=q_{2}$.
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Darum gilt
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
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||||
\textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ gilt.\\
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Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
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Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
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||||
Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
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||||
$|X\times Y'|=|X|\cdot|Y'|=|X|\cdot(n-1)$.\\
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||||
Wegen Disjunktheit von $Y'$ und $\{y_{0}\}$,
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sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
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Es folgt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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h(k_{1})=h(k_{2})
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&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
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&(f(r_{1}),g(q_{1}))=(f(r_{2}),g(q_{2}))\\
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||||
&\Longrightarrow
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||||
&f(r_{1})=f(r_{2})\,\text{und}\,g(q_{1})=g(q_{2})\\
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||||
&\Longrightarrow
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||||
&r_{1}=r_{2}\,\text{und}\,q_{1}=q_{2}\\
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||||
&&\text{da $f,g$ injektiv sind}\\
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||||
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\Longrightarrow}
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||||
&k_{1}=mq_{1}+r_{1}=mq_{2}+r_{2}=k_{2}.\\
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||||
\end{mathe}
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\begin{longmathe}[mc]{RCLqL}
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|X\times Y|
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&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
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&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
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&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|
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||||
&\text{wegen Disjunktheit}\\
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&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1
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&\text{wegen Fall für $1$-elem. Mengen}\\
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&= &|X|\cdot n
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&\text{wegen rekursiver Defn von Multiplikation}\\
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||||
&= &|X|\cdot |Y|.\\
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||||
\end{longmathe}
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\item[\uwave{{\bfseries Surjektivität:}}]
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Sei $(x,y)\in X\times Y$.
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\textbf{Zu zeigen:} $(x,y)\in\range(h)$.\\
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Wegen der Surjektivität von $f,g$ existieren nun
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$i\in\{0,1,\ldots,m-1\}$ und
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$j\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
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so dass $f(i)=x$ und $g(j)=y$.\\
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Setze nun $k:=mj+i$.\\
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Dann $\modfn(k,m)=i$ und $[k/m]=j$,
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sodass $h(k)=(f(i),g(j))=(x,y)$.\\
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Also gilt $(x,y)\in\range(h)$.
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
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Darum ist $h$ ist eine wohldefinierte Bijektion,
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woraus sich per Definition von Kardinalität direkt ergibt,
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dass $|X\times Y|=mn=|X|\cdot|Y|$.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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