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$13^{1003}\mod 5$ |
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## Berechnung von $a^{b}\mod c$ ## |
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$=3^{1003}\mod 5$ |
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### Ein Beispiel: ### |
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$=3^{1003}\mod 5$ |
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Berechne $13^{1003}\mod 5$. |
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$3^0=\boxed{1}$ |
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$3^1=\boxed{3}$ |
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$3^2=9\equiv \boxed{4}$ |
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$3^3=3^2\cdot 3\equiv 4\cdot 3 =12\equiv \boxed{2}$ |
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$3^4=3^3\cdot 3\equiv 2\cdot 3 =6\equiv \boxed{1}$ |
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Es gilt $13^{1003}\mod 5=3^{1003}\mod 5$ |
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$3^5=3^4\cdot 3\equiv 1\cdot 3=3$ |
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Jetzt berechnen wir tabellarisch die multiplikative Untergruppe $\langle 3\rangle$: |
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| $n$ | $3^{n}$ | |
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|-------|-------| |
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| $0$ |$3^0=\boxed{1}$ | |
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| $1$ | $3^{1}=\boxed{3}$ | |
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| $2$ | $3^{2}=9\equiv \boxed{4}$ | |
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| $3$ | $3^{3}=3^2\cdot 3\equiv 4\cdot 3 =12\equiv \boxed{2}$ | |
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| $4$ | $3^{\boxed{4}}=3^3\cdot 3\equiv 2\cdot 3 =6\equiv \boxed{1}$ | |
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Darum gilt für alle $k,r\in\mathbb{N}$: |
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$3^{4k+r}=3^{4k}\cdot 3^{r}=(3^{4})^{k}\cdot 3^{r}\equiv 1^{k}\cdot 3^{r}=1\cdot 3^{r}=3^{r}$ |
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$1003=4\cdot 250 + \boxed{3}$ |
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modulo $5$. Das heißt, es reicht aus (in _diesem_ konkreten Fall) den Exponenten modulo $4$ zu berechnen, und dann $3^{\text{Rest}}$ zu berechnen: |
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$\Longrightarrow$ $3^{1003}\equiv 3^{3}\mod 5=2$ |
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$1003=4\cdot 250 + \boxed{3}$ |
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Also gilt $3^{1003}\equiv 3^{3}\equiv 2\mod 5$. |
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Wenn $n=p\in\mathbb{P}$, dann für $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ gilt $k^{e}\not\equiv 0$. (Wegen Ex. von Inversen: ist $a$ das Inverse von $k$, dann ist $a^{e}$ das Inverse von $k^{e}$.) |
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**Beachte!** |
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Wenn $n\in\mathbb{P}$ (wie oben), dann für $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ gilt $k^{e}\not\equiv 0$. Warum? (1) da $n$ prim ist, ist jedes $1\leq a <n$ invertierbar (bzgl. Multiplikation) in $\intgr/n\intgr$. Sei $a$ das Inverse von $k$. Dann gilt $a^{e}\cdot k^{e} = (ak)^{e}\equiv 1^{e}=1$, sodass $k^{e}$ bzgl. Multiplikation invertierbar ist und damit insbesondere niemals gleich $0$ sein kann (modulo $n$). |
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Wenn $n\notin\mathbb{P}$, dann kann es sein, dass es $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ gibt, so dass $k^{e}\equiv 0$. |
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Aber, wenn $n\notin\mathbb{P}$, dann kann es durchaus sein, dass ein $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ existiert, so dass $k^{e}\equiv 0\mod n$ für ein $e\in\ntrl$. Zum Beispiel $n=81$ und $k=3$. Dann $k^{4}\equiv 0\mod n$. |
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