From 35bfb31d03b81dad298b9189a645a19bf1cf208e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 9 Dec 2020 14:44:46 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Protokoll W7 --- README.md | 1 + notes/berechnungen_wk7.md | 231 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ notes/vorlage.md | 24 ++++ protocol/woche7/README.md | 9 +- 4 files changed, 261 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 notes/vorlage.md diff --git a/README.md b/README.md index a08ed6f..127c376 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -77,6 +77,7 @@ Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Inform - Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!) - Rmd (R Markdown) - pynb/JyPyter (Python notebooks) + - online Editors (siehe z. B. [stackedit](https://stackedit.io/editor)). Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien. Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist, diff --git a/notes/berechnungen_wk7.md b/notes/berechnungen_wk7.md index e69de29..0294908 100644 --- a/notes/berechnungen_wk7.md +++ b/notes/berechnungen_wk7.md @@ -0,0 +1,231 @@ +https://stackedit.io/editor + +# SKA 7 # + +## SKA 7-1 ## + +Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (1)**]. + +**Behauptung.** Seien $n\in\mathbb{N}$ und $K$ ein Körper. +Dann bildet $K^{n}$, versehen mit _punktweise Addition_ +und vermöge $\alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n}$ +definierte Skalarmultiplikation +einen Vektorraum., + +**Beweis.** + +1. **Zz**: $(K^{n},+)$ mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe. + + **Ansatz I.** $(K^{n},+,\mathbf{0})$ ist lediglich die Produktgruppe aus $n$ Kopien von $(K,+,0_{K})$, +also sofort eine kommutative Gruppe. + + **Ansatz II.** Wir gehen die Axiome durch: + + - **Zz:** $(K^{n},+)$ ist assoziativ: + + .. + + - **Zz:** $(K^{n},+)$ ist kommutativ: + + Seien $\mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}$. + Zu zeigen ist, dass + $(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}$. + + $$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i} + =^{\text{Defn}} (u_{i}+v_{i})_{i} + =^{\ast} (v_{i}+u_{i})_{i} + =^{\text{Defn}} (v_{i})_{i}+(u_{i})_{i} + $$ + + Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist. + + - **Zz:** $(K^{n},+)$ hat ein Neutralelement + + .. + + - **Zz:** $(K^{n},+)$ hat Inverse + + .. +2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ. + - .. +3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv. +Seien $\alpha,\beta\in K$ und $\mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}$. +Zu zeigen: + + $\begin{array}{rcl} + \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\\ + \end{array}$ + + Es gilt + + $\begin{array}{rcl} + \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) + &= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i})_{i})\\ + &= &\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i})_{i}\\ + &= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i}))_{i}\\ + &=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u_{i}))_{i}\\ + &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u_{i}))_{i}\\ + &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\\ + \end{array}$ + + Gleichung ($\ast$) gilt weil $(K,\cdot)$ assoziativ ist. + +4. **Zz**: $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ für alle $\mathbf{u}\in K^{n}$ + - .. + +Also ist $K^{n}$ ein Vektorraum. +**QED** + +## SKA 7-2 ## + +Einem jeden Element + +$$\left(\begin{matrix} + x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\\ + x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3} +\end{matrix}\right)$$ + +aus $M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ können wir das Element + +$$\left(\begin{matrix} + x_{1,1}\\ + x_{1,2}\\ + x_{1,3}\\ + x_{2,1}\\ + x_{2,2}\\ + x_{2,3}\\ +\end{matrix}\right)$$ + +zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung +$M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6}$ +und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation. + +## SKA 7-3 ## + +Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (4)**]. + +**Ansatz I:** Direkt. + +**Ansatz II:** Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu $\mathbb{R}^{3}$. +Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, $X$) muss man die Axiome durchgehen. + +$f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}$ + +Man muss extra zeigen: $v_{f+g}=v_{f}+v_{g}$ und $v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f}$ für alle $f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R})$ und $\alpha\in\mathbb{R}$. + +## SKA 7-4 ## + +Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (2)+(4)**]. + +Hinweis: Ein Tuple, $a$, mit Werten in $K$ und Indizes über $\mathbb{N}$ +ist eine Kurzhand für eine Funktion ${a:\mathbb{N}\to K}$. +Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen. +(Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.) + +## SKA 7-5 ## + +Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (5)**]. + +Ansatz I: direkt. + +Ansatz II: arbeite mit Basen. + +## SKA 7-6 ## + +. + +## SKA 7-7 + 12 ## + +Seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $A\in M_{m\times n}(K)$ eine Matrix und $b\in K^{m}$. Und wir betrachten das LGS $Ax = b$. + +Homogener Lösungsraum: $V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}$. +Zu zeigen: $V$ ist ein Untervektorraum. + +- **Zz**: $V\neq\emptyset$. Das gilt weil $\mathbf{0}\in V$, weil $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$. +- Seien $u,v\in V$ und $\alpha\in K$. **Zz:** $\alpha u+v\in V$. +Es gilt +$A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, weil $u,v\in V$. Also gilt $\alpha u+v\in V$ per Konstruktion. + + + +Lösungsraum: $W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}$. +Zu zeigen: $W$ ist ein affiner Unterraum. + +- Wenn $Ax=b$ keine Lösung hat, dann gilt $W=\emptyset$ und damit ist $W$ per Definition affin. +- Wenn $Ax=b$ eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung $x_{0}\in K^{n}$. Darum gilt + + $\begin{array}{rcl} + W &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, Au=\mathbf{0}\}\\ + &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, u\in V\}\\ + &= &x_{0}+V\\ + \end{array}$ + + Also ist $W$ die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist $W$ affin. + + + + + + +## SKA 7-8 ## + +. + +## SKA 7-9 ## + +Vgl. [Skript, **Lemma 5.1.6**]. + +**Behauptung.** Seien $V$ ein Vektorraum über $K$ +und $U_{i}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist $U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V$ wiederum ein Untervektorraum. + +**Beweis.** +Wir gehen die Axiome durch: + +(NL) Beachte, dass $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$. +Darum $0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U$. +Insbesondere ist $U$ nicht leer. + +(LK) Seien $\alpha,\beta\in K$ und $u,v\in U$. +**Zz:** $\alpha u+\beta v\in U$. + +Sei $i\in I$. Dann $u,v\in U_{i}$. +Da $U_{i}$ ein UVR ist, gilt $\alpha u+\beta v\in U_{i}$. + +Da das für alle $i\in I$ gilt, gilt +$\alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U$. + +Darum ist $U$ ein UVR. +**QED** + + +## SKA 7-10 ## + +. +## SKA 7-11 ## + +. +## SKA 7-13 ## + +. +## SKA 7-14 ## + +. +## SKA 7-15 ## + +. +## SKA 7-16 ## + + +``` +1 5 3 0 +2 4 0 0 +2 4 0 0 + +1 # # | 0 +0 0 1 | 0 +0 0 0 | 0 + +==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei + +==> linear abhängig +``` \ No newline at end of file diff --git a/notes/vorlage.md b/notes/vorlage.md new file mode 100644 index 0000000..3757886 --- /dev/null +++ b/notes/vorlage.md @@ -0,0 +1,24 @@ +1. **Zz**: Die additive Struktur ist eine kommutative Gruppe. +Wir gehen die Axiome durch: + + - **Zz:** Assoziativität + + .. + + - **Zz:** Kommutativität: + + .. + + - **Zz:** additives Neutralelement (Nullelement) + + .. + + - **Zz:** Existenz additiver Inverser. + + .. +2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ. + - .. +3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv. + - .. +4. **Zz**: $1\cdot u=u$ für alle Elemente $u$ + - .. diff --git a/protocol/woche7/README.md b/protocol/woche7/README.md index b0db07e..35190f1 100644 --- a/protocol/woche7/README.md +++ b/protocol/woche7/README.md @@ -2,8 +2,9 @@ ## Ablauf ## -- ( ) allgemeine Ankündigungen +- (x) allgemeine Ankündigungen - Berechnungen —> Beweise? -- ( ) ÜB5 ? -- ( ) SKA 7 -- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) +- (x) ÜB5 ? +- (√) ÜB6 +- (√) SKA 7 +- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)