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@ -0,0 +1,105 @@
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v1=... w1=... |
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v2=... w2=... wie in Aufgabe |
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v3 = (1 0 0) |
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[oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist] |
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wähle w3 in R^3 beliebig |
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---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) |
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5b) |
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ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. |
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---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. |
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---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. |
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Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) |
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Sei x ∈ Kern(φ). |
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Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 |
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Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 |
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Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis |
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Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. |
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===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} |
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(beachte, dass 0 immer im Kern ist) |
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===> φ injektiv. |
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ODER |
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Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. |
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iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben. |
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Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften. |
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Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. |
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Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. |
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Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: |
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(1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0} |
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<==> dim(Kern(φ)) = 0 |
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<==> dim(Bild(φ)) = dim(V) |
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<==> Rang(φ) = dim(V) |
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<==> Rang(φ) ≥ dim(V) |
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(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W |
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<==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) |
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<==> Rang(φ) = dim(W) |
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<==> Rang(φ) ≥ dim(W) |
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z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh. |
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dann dim(Bild(φ)) = r |
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A = ( a_ij ) eine m x n Matrix |
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B = ( b_ij ) eine m x n Matrix |
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A + 5B = ( a_ij + 5b_ij ) |
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A = ( a_ij ) eine m x n Matrix |
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¯ |
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B = ( b_ij ) eine n x l Matrix |
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¯ |
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(„innere Dimensionen“ müssen übereinstimmen, um Matrixmult. durchzuführen) |
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n |
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A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj |
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k=1 |
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l |
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B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj |
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k=1 |
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## BEWEISE ## |
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d) |
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Behauptung. A,B ⊆ Y gilt f^-1(A∩B) = f^−1(A) ∩ f^−1(B). |
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Beweis. |
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(⊆) Sei x ∈ f^-1(A∩B) beliebig. |
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Zu zeigen: x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B). |
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D. h. wir müssen zeigen, |
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dass x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B). |
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Es gilt |
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x ∈ f^-1(A∩B) |
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⟹ f(x) ∈ A ∩ B (per Definition von f^-1) |
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⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B |
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⟹ x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B) (per Definition von f^-1) |
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Darum gilt x ∈ r. S. |
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(⊇) Sei x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B). |
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D. h. x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B). |
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Zu zeigen: x ∈ f^-1(A∩B). |
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Es gilt |
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x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B) |
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⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B (per Definition von f^-1) |
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⟹ f(x) ∈ A ∩ B |
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⟹ x ∈ f^-1(A∩B) (per Definition von f^-1) |
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Darum gilt x ∈ l. S. |
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QED. |