raj_mathe/linalg2020
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@ -4652,21 +4652,14 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
\item
\begin{claim*}
Seien $a,b\in\reell$ beliebig.
Dann ist $U_{2}:=\{f\in V\mid f(a)=f(b)=1\}$ genau dann ein Untervektorraum, wenn $a=b$.
Dann ist $U_{2}:=\{f\in V\mid f(a)=f(b)=1\}$ \fbox{kein Untervektorraum}.
\end{claim*}
\begin{proof}
\herRichtung
Falls $a=b$,
dann gilt offensichtlich $f(a)=f(b)$ für alle $f\in V$,
sodass $U_{2}=V$,
woraus sich trivialerweise ergibt,
dass $U_{2}$ ein Untervektorraum ist.
\hinRichtung
Offensichtlich ist der Nullvektor, $0(\cdot)$, nicht in $U_{2}$.
Darum kann $U_{2}$ kein Untervektorraum sein.
(Siehe \cite[Lemma~5.1.3]{sinn2020}.)
Offensichtlich ist der Nullvektor, $0(\cdot)$, nicht in $U_{2}$,
da $0(a)=0\neq 1$.
Darum kann $U_{2}$ kein Untervektorraum sein.
(Siehe \cite[Lemma~5.1.3]{sinn2020}.)
\end{proof}
Alternativ für die $\Rightarrow$-Richtung kann man folgendermaßen argumentieren:
@ -4700,6 +4693,7 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
\end{enumerate}
%% AUFGABE 7-2
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 2]{}
@ -4752,9 +4746,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{ccc}
1 &2 &2\\
0 &4 &5\\
0 &0 &5\\
\boxed{1} &2 &2\\
0 &\boxed{4} &5\\
0 &0 &\boxed{5}\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
\end{algorithm}
@ -4786,40 +4780,21 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
\end{matrix}
\end{mathe}
zu untersuchen. Wir berechnen
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
Reduktion der Matrix, $A$, mittels des Gaußverfahrens:\footnote{
Wir achten hier besonders darauf,
niemals mit einem Vielfach von $5$ zu multiplizieren!
}\\
Zeilentransformationen
${Z_{2} \leftsquigarrow 3\cdot Z_{1}-Z_{2}}$
und
${Z_{3} \leftsquigarrow 2\cdot Z_{1}-Z_{3}}$
anwenden:
zu untersuchen. Um dies zu bestimmen, können wir das Gaußverfahren anwenden.
Da wir in $\mathbf{F}_{5}$ arbeiten, genügt es, die Matrix über $\intgr$ zu behandeln,
und lediglich in den Zeilenoperationen Vielfache von $5$ zu vermeiden.
Da die Matrix dieselbe ist wie in \textbf{Aufgabe 7.2(a)}
und in dem Gaußverfahren dort Vielfache von $5$ vermieden wurden,
ist das Resultat
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{ccl}
1 &2 &2\\
0 &4 &5(=0)\\
0 &3 &0\\
\boxed{1} &2 &2\\
0 &\boxed{4} &5(=0)\\
0 &0 &5(=0)\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Zeilentransformation
${Z_{3} \leftsquigarrow 4\cdot Z_{3}-3\cdot Z_{2}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{ccc}
1 &2 &2\\
0 &4 &0\\
0 &0 &0\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
\end{algorithm}
Der Zeilenstufenform entnimmt man, $\rank(A)=2$.
Darum sind nur $2$ der Vektoren, und zwar
$\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}$,
@ -4870,8 +4845,8 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{ccc}
1 &1+\imageinh &\imageinh\\
0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\
\boxed{1} &1+\imageinh &\imageinh\\
0 &\boxed{2+\imageinh} &1+2\imageinh\\
0 &0 &0\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
@ -4988,6 +4963,7 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
\end{enumerate}
%% AUFGABE 7-3
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 3]{}