master > master: ÜB6 vereinfacht
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35138a7d4e
commit
3897d64163
Binary file not shown.
@ -1315,7 +1315,7 @@
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\def\leer{\emptyset}
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\def\restr#1{\vert_{#1}}
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\def\ohne{\setminus}
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\def\ohne{\mathbin{\setminus}}
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\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}}
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\def\einser{\mathbf{1}}
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\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}}
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@ -4016,28 +4016,31 @@ für alle $A,B\in R$.
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\end{kompaktitem}
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Darum erfüllt $(R,+,\cdot)$ die Axiome eines Rings
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und dieser Ring hat ein Einselement und ist kommutativ,
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weil Multiplikation kommutativ ist.
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und dieser Ring hat ein Einselement und heißt kommutativ,
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weil hier Multiplikation kommutativ ist.
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\end{proof}
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\clearpage
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\begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz II]
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Ein scharfes Auge erkennt, dass wir Teilmengen von $X$
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mit binären Tupeln identifizieren kann.
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Wir wollen $R$ mit einer bekannten algebraischen Struktur in Verbindung
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setzen, also betrachten wir konkret die Abbildungen
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Vielmehr wollen wir diese Menge von binären Tupeln mit einer bekannten algebraischen Struktur in Verbindung setzen,
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also betrachten wir konkret die Abbildungen
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\begin{mathe}[mc]{rclcl}
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\Phi &: &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr &\to &\Pot(X)\\
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&: &\alpha &\mapsto &\supp(\alpha):=\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\\
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\\
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\Psi &: &\Pot(X) &\to &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr\\
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&: &A &\mapsto &(\einser_{A}(x))_{x\in X}\\
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||||
\end{mathe}
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||||
um Elemente aus dem einen Raum auf Elemente aus dem anderen zu übertragen.\\
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||||
um Elemente aus dem einen Raum auf Elemente aus dem anderen zu übertragen.
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Nun ist $\intgr/2\intgr$ bekanntermaßen ein kommutativer Ring (eigentlich ein Körper).
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Darum ist das Produkt $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$,
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versehen mit punktweise Addition und punktweise Multiplikation,
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ebenfalls ein kommutativer Ring.
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Darum reicht es aus \textbf{zu zeigen}, dass $\Phi$
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eine Bijektion ist, die die Operationen erhält
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(auch \emph{Isomorphismus} genannt).
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@ -4046,17 +4049,17 @@ für alle $A,B\in R$.
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\item[\uwave{{\bfseries Bijektion:}}]
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Wir beobachten, dass
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\begin{mathe}[mc]{rclclclcl}
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\begin{mathe}[mc]{rclcl}
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\Phi(\Psi(A))
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&= &\{x\in X\mid \Psi(A)_{x}=1\}
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||||
&= &\{x\in X\mid \einser_{A}(x)=1\}
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||||
&= &\{x\in X\mid \Psi(A)_{x}=1\}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid \einser_{A}(x)=1\}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid x\in A\}
|
||||
&= &A\\
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||||
\end{mathe}
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für alle $A\in\Pot(X)$ und
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
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\Psi(\Phi(\alpha))
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||||
&= &(\einser_{\Phi(\alpha)}(x))_{x\in X}\\
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||||
&= &(\einser_{\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}}(x))_{x\in X}\\
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||||
@ -4071,9 +4074,9 @@ für alle $A,B\in R$.
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||||
1 &: &\alpha_{x}=1\\
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0 &: &\alpha_{x}=0\\
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||||
\end{cases}
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\right)_{x\in X}\\
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||||
&= &(\alpha_{x})_{x\in X}\\
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||||
&= &\alpha\\
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||||
\right)_{x\in X}
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||||
&= &(\alpha_{x})_{x\in X}
|
||||
= \alpha\\
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||||
\end{mathe}
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||||
für alle $\alpha\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$.
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||||
@ -4085,17 +4088,17 @@ für alle $A,B\in R$.
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||||
\textbf{Zu zeigen:}
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$\Phi(\alpha+\beta)=\Phi(\alpha)+\Phi(\beta)$
|
||||
und
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$\Phi(\alpha\cdot\beta)=\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta)$.\\
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||||
$\Phi(\alpha\cdot\beta)=\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta)$.
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||||
Es gilt
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||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
\Phi(\alpha+\beta)
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||||
&= &\{x\in X\mid (\alpha+\beta)_{x}=1\}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}+\beta_{x}=1\}
|
||||
\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}+\beta_{x}=1\},\\
|
||||
&&\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\
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||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{od.}\,\beta_{x}=1,\,\text{aber nicht beides}\}\\
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||||
&= &(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cup\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})
|
||||
\ohne(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})\\
|
||||
&= &(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cup\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})\\
|
||||
&&\,\ohne\,(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})\\
|
||||
&= &(\Phi(\alpha)\cup\Phi(\beta))
|
||||
\ohne(\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta))
|
||||
\quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\
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||||
@ -4108,8 +4111,8 @@ für alle $A,B\in R$.
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
\Phi(\alpha\cdot\beta)
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||||
&= &\{x\in X\mid (\alpha\cdot\beta)_{x}=1\}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}\cdot\beta_{x}=1\}
|
||||
\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}\cdot\beta_{x}=1\},\\
|
||||
&&\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\
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||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{und.}\,\beta_{x}=1\}\\
|
||||
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\}\\
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||||
&= &\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta)
|
||||
@ -4122,18 +4125,21 @@ für alle $A,B\in R$.
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||||
\end{kompaktitem}
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||||
Zusammegefasst haben wir gezeigt,
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||||
dass $(R,+,\cdot)$ zu dem kommutativen Ring, $(\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr,+,\cdot)$ isomorph ist
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||||
dass $(\Pot(X),+,\cdot)$ zu dem kommutativen Ring, $(\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr,+,\cdot)$ isomorph ist
|
||||
(und zwar mittels $\Phi$),
|
||||
und damit dass $(R,+,\cdot)$ selbst ein kommutativer Ring ist.
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||||
Man sieht auch, dass
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||||
das Nullelement durch $\Phi((0)_{x\in X})=\{x\in X\mid 0=1\}=\leer$
|
||||
und dass
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||||
das Einselement durch $\Phi((1)_{x\in X})=\{x\in X\mid 1=1\}=X$
|
||||
gegeben sind.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\textbf{Bemerkung.}
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||||
Aus diesem Beweis geht hervor, dass
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||||
das Nullelement durch $\Phi((0)_{x\in X})=\leer$
|
||||
und
|
||||
das Einselement durch $\Phi((1)_{x\in X})=X$
|
||||
gegeben sind.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
%% AUFGABE 6-2
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||||
\clearpage
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||||
\let\altsectionname\sectionname
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||||
\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 2]{}
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||||
@ -4232,16 +4238,16 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen
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\begin{mathe}[mc]{ccccccccccl}
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||||
\cos(\alpha_{1})
|
||||
&= &\frac{r_{1}\cos(\alpha_{1})}{r_{1}}
|
||||
&= &\frac{x}{r_{1}}
|
||||
&= &\frac{x}{r_{2}}
|
||||
&= &\frac{r_{2}\cos(\alpha_{2})}{r_{2}}
|
||||
&= &\dfrac{r_{1}\cos(\alpha_{1})}{r_{1}}
|
||||
&= &\dfrac{x}{r_{1}}
|
||||
&= &\dfrac{x}{r_{2}}
|
||||
&= &\dfrac{r_{2}\cos(\alpha_{2})}{r_{2}}
|
||||
&= &\cos(\alpha_{2})\\
|
||||
\sin(\alpha_{1})
|
||||
&= &\frac{r_{1}\sin(\alpha_{1})}{r_{1}}
|
||||
&= &\frac{y}{r_{1}}
|
||||
&= &\frac{y}{r_{2}}
|
||||
&= &\frac{r_{2}\sin(\alpha_{2})}{r_{2}}
|
||||
&= &\dfrac{r_{1}\sin(\alpha_{1})}{r_{1}}
|
||||
&= &\dfrac{y}{r_{1}}
|
||||
&= &\dfrac{y}{r_{2}}
|
||||
&= &\dfrac{r_{2}\sin(\alpha_{2})}{r_{2}}
|
||||
&= &\sin(\alpha_{2})\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
@ -4281,13 +4287,13 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen
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||||
\begin{proof}
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||||
Multiplikation in $\kmplx$ liefert
|
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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||||
z_{1}z_{2}
|
||||
&= &\begin{svector}\ReTeil(z_{1})\ReTeil(z_{2})-\ImTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})+\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\end{svector}\\
|
||||
&= &\begin{svector}r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\cos(\alpha_{2})-r_{1}\sin(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})+r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\
|
||||
&= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})-\sin(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})+\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\
|
||||
&= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{longmathe}
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||||
|
||||
Die letzte Vereinfachung folgt aus der trigonometrischen Additionsregel.
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||||
\end{proof}
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||||
@ -4322,7 +4328,7 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen
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||||
&\textoverset{IV}{=}
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||||
&r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}
|
||||
\cdot r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}\\
|
||||
&\textoverset{2b}{=}
|
||||
&\textoverset{(2b)}{=}
|
||||
&r^{n-1}r\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha+\alpha)\\\sin((n-1)\alpha+\alpha)\\\end{svector}\\
|
||||
&= &r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
@ -4333,10 +4339,31 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen
|
||||
Also gilt die Gleichung für alle $n\in\ntrlzero$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung.} Wir können eigentlich zeigen, dass dies für all $n\in\intgr$ gilt.
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||||
Für $n=0$, beachte, dass $z^{0}=1=1+\imageinh 0$, $r^{0}=1$, $\cos(0)=1$ und $\sin(0)=0$.
|
||||
Für negative Zahlen reicht es aus, $z^{-1}=r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector}$ zu zeigen,
|
||||
und dann $z^{n}=(z^{-1})^{|n|}$ für $n<0$ zu verwenden.
|
||||
\begin{rem*}
|
||||
Wir können eigentlich zeigen,
|
||||
dass dies für alle $n\in\intgr$ gilt.
|
||||
Für $n=0$, gilt
|
||||
$%
|
||||
z^{0}
|
||||
=1+\imageinh 0
|
||||
=\begin{svector}1\\0\\\end{svector}
|
||||
=r^{0}\cdot\begin{svector}\cos(0\alpha)\\\sin(0\alpha)\\\end{svector}%
|
||||
$.
|
||||
Für $n=-1$ liefert uns die Rechenregel für Multiplikation innerhalb $\kmplx$,
|
||||
dass
|
||||
$r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector}$
|
||||
eine hinreichende Konstruktion für ein Inverses von $z$ ist,
|
||||
und darum ist dies wegen Eindeutigkeit des Inverses gleich $z^{-1}$.
|
||||
Für $n<0$ allgemein wenden wir schließlich
|
||||
$%
|
||||
z^{n}
|
||||
=(z^{-1})^{|n|}
|
||||
=(r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector})^{|n|}
|
||||
=(r^{-1})^{|n|}\cdot\begin{svector}\cos(|n|\cdot-\alpha)\\\sin(|n|\cdot-\alpha)\\\end{svector}
|
||||
=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}%
|
||||
$
|
||||
an.
|
||||
\end{rem*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 6-3
|
||||
@ -4356,13 +4383,78 @@ definiert vermöge
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle $a,b,a',b'\in K$.
|
||||
Wir beobachten zuerst folgendes Ergebnis.
|
||||
|
||||
\begin{claim}
|
||||
\makelabel{claim:1:ueb:6:ex:3}
|
||||
Wir werden folgendes klassifizierendes Ergebnis verwenden,
|
||||
um die Aufgaben zu behandeln
|
||||
(und dieses Resultat dann anschließend beweisen).
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
\makelabel{satz:1:ueb:6:ex:3}
|
||||
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper,
|
||||
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K$
|
||||
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 6-3a
|
||||
\item
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\mathbf{F}_{2}=\intgr/2\intgr$.
|
||||
Dann ist $(F,+,\cdot)$ kein Körper.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da $(a,b):=(1,1)\in F\ohne\{(0,0)\}$
|
||||
und
|
||||
$a^{2}+b^{2}=1+1=0$
|
||||
innerhalb $K=\intgr/2\intgr$,
|
||||
ist \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zufolge $F$ kein Körper.
|
||||
Es scheitert genau das Axiom der Existenz multiplikativer Inverser.
|
||||
(Nichtsdestotrotz bildet $F$ einen kommutativen Ring mit Einselement.)
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 6-3b
|
||||
\item
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\mathbf{F}_{3}=\intgr/3\intgr$.
|
||||
Dann ist $(F,+,\cdot)$ ein Körper.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Laut \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} reicht es aus
|
||||
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$
|
||||
\textbf{zu zeigen}, dass $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K=\intgr/3\intgr$.
|
||||
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ beliebig.
|
||||
Da $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ gibt es folgende Fälle:
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab]
|
||||
%% FALL 1
|
||||
\item $a=0$, $b\neq 0$. Dann $b=\pm 1\mod 3$.
|
||||
Also $a^{2}+b^{2}=0+1=1\nequiv 0\mod 3$.
|
||||
%% FALL 2
|
||||
\item $a\neq 0$, $b=0$. Dann $a=\pm 1\mod 3$.
|
||||
Also $a^{2}+b^{2}=1+0=1\nequiv 0\mod 3$.
|
||||
%% FALL 3
|
||||
\item $a\neq 0$, $b\neq 0$. Dann $a,b=\pm 1\mod 3$.
|
||||
Also $a^{2}+b^{2}=1+1=2\nequiv 0\mod 3$.
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Also gilt in jedem Falle $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
|
||||
Darum bildet $F$ einen Körper.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Um \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zu beweisen, brauchen wir zunächst folgendes Zwischenresultat.
|
||||
|
||||
\begin{lemm}
|
||||
\makelabel{lemm:1:ueb:6:ex:3}
|
||||
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper,
|
||||
wenn in der Teilstruktur $(F,\cdot)$ multiplikative Inverse existieren für jedes Element.
|
||||
\end{claim}
|
||||
\end{lemm}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -4419,167 +4511,71 @@ Wir beobachten zuerst folgendes Ergebnis.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass wir uns der Existenz multiplikativer Inverser widmen müssen.
|
||||
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig und sei $(a',b')\in F$.
|
||||
Dann
|
||||
Jetzt können wir uns dem Beweis von \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} widmen
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:0:ueb:6:ex3]
|
||||
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&(a,b)\cdot(a',b') = (1,0)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&(aa'-bb',ab'+a'b) = (1,0)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'+a'b=0\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\begin{proof}[von \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3}][\Cref{satz:1:ueb:6:ex:3}]
|
||||
Laut \Cref{lemm:1:ueb:6:ex:3} gilt $(F,+,\cdot)$ ein Körper gdw. jedes Element in $F$ hat ein multiplikatives Inverses.
|
||||
Darum reicht es aus \textbf{zu zeigen}, dass
|
||||
|
||||
Da $(a,b)\neq 0_{F}=(0,0)$ gibt es folgende Fälle
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\forall{(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}:~}\exists{(a',b')\in F:~}(a,b)\cdot (a',b')=1_{F}
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}:~}a^{2}+b^{2}\neq 0
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab]
|
||||
%% FALL 1
|
||||
\item
|
||||
$a=0$, $b\in K\ohne\{0\}$.
|
||||
Dann ist $b$ invertierbar (innerhalb $K$) und
|
||||
gilt.\footnote{
|
||||
Man beachte: Wegen multiplikativer Kommutativität folgt aus
|
||||
$(a,b)\cdot (a',b')=1_{F}$,
|
||||
dass auch
|
||||
$(a',b')\cdot (a,b)=1_{F}$
|
||||
gilt.
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&0a'-bb'=1\,\text{und}\,0b'=-a'b\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&b'=-b^{-1}\,\text{und}\,a'=-b^{-1}0=0\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&(a',b')=(0,-b^{-1}).\\
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||||
\end{mathe}
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||||
\herRichtung
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||||
Angenommen, $a^{2}+b^{2}\neq 0$ für alle $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$.
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||||
Sei $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig.
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||||
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)$ sei innerhalb $F$ invertierbar.\\
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||||
Per Annahme gilt nun $r:=a^{2}+b^{2}\neq 0$ und somit ist $r$ innerhalb $K$ invertierbar.
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||||
Setze $(a',b'):=(r^{-1}a,-r^{-1}b)$.
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Dann
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Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$.
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%% FALL 2
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\item
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$b=0$, $a\in K\ohne\{0\}$.
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||||
Dann ist $a$ invertierbar (innerhalb $K$) und
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
(a,b)\cdot(a',b')
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||||
&= &(a\cdot r^{-1}a-b(-r^{-1}b),a(-r^{-1}b)+(r^{-1}a)b)\\
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||||
&= &(r^{-1}(a^{2}+b^{2}), 0)\\
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||||
&= &(r^{-1}r, 0)\\
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||||
&= &(1, 0)\\
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||||
&= &1_{F}.\\
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||||
\end{mathe}
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||||
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||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
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||||
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow}
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||||
&aa'-0b'=1\,\text{und}\,ab'=-a'0\\
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||||
&\Longleftrightarrow
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||||
&a'=a^{-1}\,\text{und}\,b'=a^{-1}0=0\\
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||||
&\Longleftrightarrow
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||||
&(a',b')=(a^{-1},0).\\
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||||
\end{mathe}
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||||
Also ist jedes $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ innerhalb $F$ invertierbar.
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||||
Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$.
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||||
%% FALL 2
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||||
\item
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||||
$a,b\in K\ohne\{0\}$.
|
||||
Dann sind $a,b$ invertierbar (innerhalb $K$) und
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||||
\hinRichtung
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||||
Angenommen, jedes Element in $F\ohne\{0_{F}\}$ sei invertierbar.\\
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||||
Wie oben erklärt, ist $(F,+,\cdot)$ somit ein Körper.\\
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||||
Sei $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig.
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||||
\textbf{Zu zeigen:} $a^{2}+b^{2}\neq 0$.\\
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||||
Da $(a,b)\neq 0_{F}=(0,0)$,
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||||
gilt $a\neq 0$ oder $b\neq 0$
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||||
und damit gilt auch $(a,-b)\in F\ohne\{0_{F}\}$.\\
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||||
Da $F$ ein Körper ist,
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||||
sind $(a,b)$ und $(a,-b)$
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||||
und folglich auch das Produkt
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$(a,b)\cdot(a,-b)$
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||||
invertierbar.\\
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||||
Da $F$ ein Körper ist, bedeutet dies wiederum,
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||||
dass $(a,b)\cdot(a,-b)\neq 0_{F}$ gilt.
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||||
Nun,
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||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
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||||
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow}
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||||
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b\\
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||||
&\Longleftrightarrow
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||||
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,b'b^{-1}=-a^{-1}a'\\
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&\Longleftrightarrow
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||||
&\exists{t\in K:~}
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||||
b'b^{-1}=-t
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\,\text{und}\,
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||||
a^{-1}a'=t
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||||
\,\text{und}\,
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||||
aa'-bb'=1\\
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||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{t\in K\ohne\{0\}:~}
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||||
b'=-tb
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||||
\,\text{und}\,
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||||
a'=at
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||||
\,\text{und}\,
|
||||
a(at)-b(-tb)=1\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{t\in K\ohne\{0\}:~}
|
||||
(a',b')=(ta,-tb)
|
||||
\,\text{und}\,
|
||||
t(a^{2}+b^{2})=1\\
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||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&a^{2}+b^{2}\,\text{invertierbar}
|
||||
\,\text{und}\,
|
||||
(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&a^{2}+b^{2}\neq 0\,\text{und}\,(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b).\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
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||||
(a,b)\cdot(a,-b)
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&= &(aa-b(-b),a(-b)+ab)
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||||
&= &(a^{2}+b^{2},0).\\
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||||
\end{mathe}
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||||
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||||
Folglich existiert dann ein Inverses, wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
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||||
\end{kompaktenum}
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||||
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||||
Beachte, dass im Fall 1, $a^{2}+b^{2}=b^{2}\neq 0$ und im Fall 2 $a^{2}+b^{2}=a^{2}\neq 0$.
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||||
Darum können wir diese Fälle zusammenfassen als
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||||
$(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ hat genau dann ein multiplikatives Inverse,
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||||
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
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||||
Angesichts \Cref{claim:1:ueb:6:ex:3} haben wir darum bewiesen:
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
\makelabel{satz:1:ueb:6:ex:3}
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||||
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper,
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||||
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K$
|
||||
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$.
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\end{satz}
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||||
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||||
Wir können dieses allgemeine klassifizierende Resultat verwenden,
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||||
um die Aufgaben zu behandeln.
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\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% AUFGABE 6-3a
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\item
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\begin{schattierteboxdunn}
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||||
\begin{claim*}
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||||
Sei $K=\mathbf{F}_{2}=\intgr/2\intgr$.
|
||||
Dann ist $(F,+,\cdot)$ kein Körper.
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||||
\end{claim*}
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||||
\end{schattierteboxdunn}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Da $(a,b):=(1,1)\in F\ohne\{(0,0)\}$
|
||||
und
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||||
$a^{2}+b^{2}=1+1=0$
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||||
innerhalb $K=\intgr/2\intgr$,
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||||
ist \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zufolge $F$ kein Körper.
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||||
Es scheitert genau das Axiom der Existenz multiplikativer Inverser.
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||||
(Nichtsdestotrotz bildet $F$ einen kommutativen Ring mit Einselement.)
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
%% AUFGABE 6-3b
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||||
\item
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\mathbf{F}_{3}=\intgr/3\intgr$.
|
||||
Dann ist $(F,+,\cdot)$ ein Körper.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Laut \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} reicht es aus
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||||
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$
|
||||
\textbf{zu zeigen}, dass $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K=\intgr/3\intgr$.
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||||
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ beliebig.
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||||
Da $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ gibt es folgende Fälle:
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||||
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||||
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab]
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%% FALL 1
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||||
\item $a=0$, $b\neq 0$. Dann $b=\pm 1\mod 3$.
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||||
Also $a^{2}+b^{2}=0+1=1\nequiv 0\mod 3$.
|
||||
%% FALL 2
|
||||
\item $a\neq 0$, $b=0$. Dann $a=\pm 1\mod 3$.
|
||||
Also $a^{2}+b^{2}=1+0=1\nequiv 0\mod 3$.
|
||||
%% FALL 3
|
||||
\item $a\neq 0$, $b\neq 0$. Dann $a,b=\pm 1\mod 3$.
|
||||
Also $a^{2}+b^{2}=1+1=2\nequiv 0\mod 3$.
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Also gilt in jedem Falle $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
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||||
Darum bildet $F$ einen Körper.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{enumerate}
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||||
Darum gilt $(a^{2}+b^{2},0)=(a,b)\cdot(a,-b)\neq 0_{F}=(0,0)$,
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||||
woraus sich $a^{2}+b^{2}\neq 0$ ergibt.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\setcounternach{part}{2}
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||||
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
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