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3c090c9e88
@ -37,11 +37,120 @@ Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigere
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Klausurzulassung, wenn
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- ≥ 50% der Punkte aus den insgesamt 12 Übungsblättern (je 15 Pkt).
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- ~~?/? Quizzes~~ —> keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig!
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- ~~?/? Quizzes~~ ⟶ keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig!
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- ≥ 50% der Punkte von 11 Übungsblättern (82,5 Punkte).
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- **ACHTUNG:** Es gibt zwar ggf. ein 12. ÜB und mehr Punkte auf einigen der Blätter, aber der Schwellwert bleibt bei 82,5 Pkt, so der Professor.
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Klausur:
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## Klausur ##
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- voraussichtlich am 16.02.2021
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- 90 min Dauer
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- ??? Fragen
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Allgemeine Aspekte:
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- voraussichtlich am **12.02.2021**
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- Geplante Schreibdauer: **90 min**.
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- Zugeordnete Zeit: **12:00–14:00** (Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann).
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- 6 Aufgaben
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Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist.
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**ACHTUNG:** Dies ist als Hinweis zu verstehen.
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Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben.
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Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht,
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die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind.
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Sie sind nicht unbedingt vollständig.
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### Themen / VL-Materialien ###
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- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen.
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- Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
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- Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
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- Lösung des homogenen Systems Ax = 0
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- Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
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- Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
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- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
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- Axiomen von Äquivalenzrelationen
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- Für Funktionen, f : X ⟶ Y
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- der Graph von f
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- Umkehrabbild f¯¹ (wenn f bijektiv ist).
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- f¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter f
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(!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse f¯¹ : Y ⟶ X ist !!)
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- f(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter f
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- Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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(!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!)
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- Komposition von Funktionen
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- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
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- Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inverses modulo _n_ (for konkrete Werte).
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- Kapitel 4:
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- Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
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- Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
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- Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
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- genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
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- man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
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die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen.
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Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix
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A = ( 12 -1 4 1 )
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( 0 80 -17 28 )
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eher darstellen als
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A = ( 2 4 4 1 )
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( 0 0 3 3 ),
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damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt.
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- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern.
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- dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
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- Unterräume
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- Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
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- Basis:
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- lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
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- Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
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- Berechnung von Basen:
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- anhand einer Menge von Vektorren:
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- Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
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- Erweiterung von (ggf. nicht linear unabhängigen) Vektoren auf eine Basis
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- Basis von Spaltenraums einer Matrix A:
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- A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
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- Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
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- Konkrete Fälle:
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- „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
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- „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ[x], und deren „kanonische“ Basen.
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- Dimension, Dimensionsformel.
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- Rang:
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- Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
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- Spaltenrang := dim(Bild(A))
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- **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
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- **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
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- Kapitel 6 | 6.1–6.4:
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- lin. Abb
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- Kern, Bild
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- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
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- Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
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- !! Lineare Ausdehnung !!
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- insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
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wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt
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- Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
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- Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
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und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind.
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- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt.
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- Kapitel 7: nicht behandelt
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### Empfolene Übungen ###
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#### SKA ####
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_(Unter Arbeit)_
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#### Übungsblätter ####
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_(Unter Arbeit)_
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#### Quizzes ####
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_(Unter Arbeit)_
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### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt ###
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- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!)
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- Basiswechseln (aber ihr müsst mit der )
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- Koordinatenwecheln
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- Inverse von Matrizen explizit berechnen.
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protocol/woche12/README.md
Normal file
14
protocol/woche12/README.md
Normal file
@ -0,0 +1,14 @@
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# Woche 12 (KW 4, 25.—31.1.) #
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## Ablauf ##
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- (√) Organisatorische Fragen
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- Übungsblätter / Punkte / Zulassungsbeschränkungen
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- 50% von 11 Blättern (= 82,5)
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- Warten noch Leute auf deren Noten?
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- Klausurvorbereitung
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- Liste (noch unter Arbeit) von relevanten Themen: [/protocol/README.md > Klausur](../../protocol/README.md)).
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- ( ) Fragen/Feedback zu ÜB10
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||||
- ( ) Fragen zu SKA 11
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||||
- ( ) Fragen zu ÜB11
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- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
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