From 3f6a588156f4a443d8e3624bb84b4fbe5bc8504a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 24 Mar 2021 15:17:19 +0100 Subject: [PATCH] master > master: notes --- notes/vorbereitungKL2_2.md | 97 +++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 60 insertions(+), 37 deletions(-) diff --git a/notes/vorbereitungKL2_2.md b/notes/vorbereitungKL2_2.md index cd5cf80..bde0944 100644 --- a/notes/vorbereitungKL2_2.md +++ b/notes/vorbereitungKL2_2.md @@ -1,51 +1,74 @@ +## Lineare Ausdehnung ## +Aufgabe 5b aus Klausur - v1=... w1=... - v2=... w2=... wie in Aufgabe - v3 = (1 0 0) - [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist] - wähle w3 in R^3 beliebig - ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) + i) -5b) - ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. - ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. - ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. - Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) - Sei x ∈ Kern(φ). - Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 - Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 - Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis - Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. - ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} - (beachte, dass 0 immer im Kern ist) - ===> φ injektiv. + v1=... w1=... + v2=... w2=... wie in Aufgabe - ODER + Wähle v3 = (1 0 0) + Oder sage: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist - Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. + Wähle w3 in R^3 beliebig + ⟹ ex. lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 (siehe Satz 6.1.13) + mit + φ(v1) = w1 + φ(v2) = w2 + φ(v3) = w3 + + ii) Wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. + - also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. + - lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 wie vorher erzeugen. + - bleibt zu zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist. + + Zz: φ ist injektiv. + [Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus.] + Sei also x ∈ Kern(φ). + Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 + Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 + Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis + Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. + ⟹ Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} + (beachte, dass 0 immer im Kern ist) + ⟹ φ injektiv. + + ODER + + Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben. - Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften. - Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. - Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. + Dann erfüllt φ die erwünschten Eigenschaften. + Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. + Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. - Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: +## Zum Thema Rang <~~~> Inj/Surj - (1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0} - <==> dim(Kern(φ)) = 0 - <==> dim(Bild(φ)) = dim(V) - <==> Rang(φ) = dim(V) - <==> Rang(φ) ≥ dim(V) +Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: - (2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W - <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) - <==> Rang(φ) = dim(W) - <==> Rang(φ) ≥ dim(W) +1. + φ injektiv ⟺ Kern(φ) = {0} + ⟺ dim(Kern(φ)) = 0 + ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V) + ⟺ Rang(φ) = dim(V) + ⟺ Rang(φ) ≥ dim(V) - z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh. - dann dim(Bild(φ)) = r +2. + φ surjektiv ⟺ Bild(φ) = W + ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) + ⟺ Rang(φ) = dim(W) + ⟺ Rang(φ) ≥ dim(W) + +Der Punkt? Wir können Rang(φ) _berechnen_. + +Anwendung: z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh, +dann gilt offensichtlich dim(Bild(φ)) = r. + +Und falls wir nicht wissen, ob {w1, w2, ..., w_r} lin unabh ist, +dann wissen wir dennoch mindestens, dass dim(Bild(φ)) ≤ r, +weil wir eine Teilmenge aus ≤r Vektoren finden können, +die eine Basis für Bild(φ) bilden. ## MATRIZEN ## @@ -121,7 +144,7 @@ d) Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen. - Beh. ψ ◦ φ injektiv <==> (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}). + Beh. ψ ◦ φ injektiv ⟺ (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}). Beweis. (⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv.