From 3f81bc088aa2851ae02de9d2ba862fb7cc2320bb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 20 Jan 2021 15:32:17 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Berechnungen Woche 11 --- notes/berechnungen_wk11.md | 218 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 218 insertions(+) create mode 100644 notes/berechnungen_wk11.md diff --git a/notes/berechnungen_wk11.md b/notes/berechnungen_wk11.md new file mode 100644 index 0000000..5b1ae9e --- /dev/null +++ b/notes/berechnungen_wk11.md @@ -0,0 +1,218 @@ +## §1. Linear oder nicht? ## + +Betrachte φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert wie folgt +und bestimme, in jedem Falle, ob φ linear ist. + +a) + φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 ) + ( 10·x2 ) + +nicht linear + +b) + φ(x1, x2, x3) = ( x3^2 ) + ( 0 ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. +Aber: + + φ(0, 0, 8) = (64, 0)^T + 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)^T = (8, 0)^T + +Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. + +c) + φ(x1, x2, x3) = ( x3 ) + ( 0 ) +linear + +d) φ(x1, x2, x3) = ( 0 ) + ( 0 ) +linear + +e) + φ(x1, x2, x3) = ( 4 ) + ( 0 ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] +Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! +Also ist φ nicht linear. + +f) + φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 ) + ( -x2 + x1 ) + +linear! + +f') + φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 ) + ( -x2 + x1 ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] +Aber φ(0) = (1, 0)^T. +Also ist φ nicht linear. + +g) + φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) ) + ( 0 ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] +Aber φ(0) = (exp(0), 0)^T = (1, 0)^T. +Also ist φ nicht linear. + +## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## + +Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2), +wobei + + u1 = (3, 0, 1)^T + u2 = (0, -1, 0)^T + u3 = (4, 0, 0)^T + + v1 = (4, 5)^T + v2 = (0, 1)^T + +[√] A bildet eine Basis für ℝ^3 +[√] B bildet eine Basis für ℝ^2 + +Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch + + φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 ) + ( 10·x2 + x1 ) + +### Zur Linearität ### +Seien + + (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ^3 + c, c' ∈ ℝ + +**Zu zeigen:** + φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3') + +Es gilt + + l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) + = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3)) + = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3) + = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3') + + = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') ) + ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') ) + + = ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') ) + ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1')) + + = c·( 4·x1 - x3 ) + ( 10·x2 + x1 ) + + c'·( 4·x1' - x3' ) + ( 10·x2' + x1' ) + = r. S. + +Darum ist φ linear. + +### Darstellung ### +Zunächst beobachten wir: + + φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 ) + ( 1 10 0 ) ( x2 ) + ( x3 ) + = C·x + = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], + +wobei C die Matrix + + C = ( 4 0 -1 ) + ( 1 10 0 ) + +ist. + +**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: +Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. + +_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ + +Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: + +- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A +- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ^2 +- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i + +Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: + + B·M·α = φ(A·α) + +für alle α ∈ ℝ^3. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu + + B·M·α = C·A·α + +Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. +Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren +auf folgendes augmentiertes System an + + ( B | C·A ) + +und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. +Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. +Es gilt + + C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) + ( 1 10 0 ) (0 -1 0) + (1 0 0) + = ( 11 0 16 ) + ( 3 -10 4 ) + +Also ist das augmentiere System + + ( B | C·A ) + + = ( 4 0 | 11 0 16 ) + ( 5 1 | 3 -10 4 ) + Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 + + ~> ( 4 0 | 11 0 16 ) + ( 0 4 | -43 -40 -64 ) + Zeile1 <- Zeile1 : 4 + Zeile2 <- Zeile2 : 4 + + ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) + ( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) + +Darum gilt + + M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) + ( -43/4 -10 -16 ) + + + +## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## + +Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ^3 + + +Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5. +Definiert werden + + φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3 + +**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen? + +**Antwort:** Ja. + +**Beweis:** +Setze + φ(u3) := 0 (Nullvektor) + φ(u5) := 0 (Nullvektor) + +Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist, +können wir für belieges x ∈ ℝ^5 + + φ(x) = ∑ c_i · φ(ui) + +wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind, +so dass + + x = ∑ c_i · ui + +gilt. +Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!). +**QED**