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76e0d7d7aa
commit
42284664fd
@ -11,7 +11,7 @@ A eine m x m Matrix, m = 4:
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4 3 3 1
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1 -2 2 3
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in IF₅.
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in 𝔽₅.
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Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
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@ -32,59 +32,60 @@ Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
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—> modulo 5
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 1 4 4 | 4 0 0 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 1 4 4 | 4 0 0 1
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Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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||||
0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 1 1 | 1 4 0 1
|
||||
1 2 3 4 | 1 0 0 0
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||||
0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 1 1 | 1 4 0 1
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(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
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Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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||||
0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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==> Rang(A) = 4 = m
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==> A invertierbar
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⟹ Rang(A) = 4 = m
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⟹ A invertierbar
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Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2
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1 0 -3 -2 |-5 -2 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 2 3 | 0 3 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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||||
0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 0 1 | 0 4 4 1
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||||
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||||
Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3
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||||
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3
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||||
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
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||||
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1 0 0 -2 |-2 -2 3 0
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0 1 0 3 | 0 1 -3 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 0 3 | 3 3 3 0
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||||
0 1 0 3 | 0 1 2 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 0 1 | 0 4 4 1
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||||
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||||
Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4
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||||
Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
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||||
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
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||||
1 0 0 0 | 3 1 1 2
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0 1 0 0 | 0 4 0 2
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||||
0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 0 1 | 0 4 4 1
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||||
1 0 0 0 | 3 1 1 2
|
||||
0 1 0 0 | 0 4 0 2
|
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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===> A^-1 steht in der rechten Hälfte
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⟹ A¯¹ steht in der rechten Hälfte
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A^-1 = 3 1 1 2
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0 4 0 2
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1 0 1 0
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0 4 4 1
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A¯¹ = 3 1 1 2
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0 4 0 2
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1 0 1 0
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0 4 4 1
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## Lineare Ausdehnung ##
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@ -100,7 +101,7 @@ Seien
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v2 = (-1, 1)ᵀ
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v3 = ( 1, 0)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2,
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
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so dass
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φ(w1) = v1
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@ -132,7 +133,7 @@ Seien
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v1 = ( 2, 1)ᵀ
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v2 = (-1, 1)ᵀ
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||||
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2,
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
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||||
so dass
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φ(w1) = v1
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@ -143,8 +144,8 @@ gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
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**Antwort.**
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- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).
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- {w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3}
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||||
- Setze v3 ∈ IR^2 beliebig
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||||
- {w1, w2} können zu einer Basis von ℝ³ ergänzt werden: {w1, w2, w3}
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||||
- Setze v3 ∈ ℝ² beliebig
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- Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:
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- _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die
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@ -153,11 +154,11 @@ gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
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φ(w3) = v3
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erfüllt.
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- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2,
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||||
weil {v1, v2} eine Basis von IR^2.
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||||
Also Bild(φ) = IR^2.
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- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = ℝ²,
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||||
weil {v1, v2} eine Basis von ℝ².
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||||
Also Bild(φ) = ℝ².
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- Darum ist φ surjektiv.
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- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2,
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- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von ℝ³ nach ℝ²,
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weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.
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**Aufgabe 3a.**
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@ -172,7 +173,7 @@ Seien
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v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
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v3 = (1, 2, 0)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3,
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
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so dass
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φ(w1) = v1
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@ -191,15 +192,16 @@ Es gilt
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Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur
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mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird,
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weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt,
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weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear und Bed. 1+2 erfüllt,
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so gilt Bedingung 3, weil
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φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.
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Ansatz:
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- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist.
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- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist.
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- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von ℝ³ ist.
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- v3' jetzt so wählen, dass φ injektiv/nicht injektiv ist.
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- Beachte Korollar 6.1.11 im besonderen Falle dass φ : ℝⁿ —> ℝⁿ mit gleicher Dim für Inputraum und Outputraum!! Lin Abb. injektiv ⟺ surjektiv ⟺ bijektiv (≡ „Isomorphismus“).
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**Aufgabe 3b.**
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@ -214,7 +216,7 @@ Seien
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v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
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v3 = (1, 4, 0)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3,
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
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so dass
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φ(w1) = v1
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@ -232,7 +234,7 @@ Es gilt
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- Aber v3 ≠ v1 + v2.
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Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt,
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weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
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weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
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so gilt
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φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.
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@ -18,5 +18,9 @@
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- warum Rang(A)=m ⟺ Rang(A) ≥ m in Aufgabe 11·2(b):
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- weil Rang(A) = Zeilenrang ≤ m stets gilt!
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- (√) Fragen zum Stoff oder Aufgaben
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- Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern (z. B. modulo 5)
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- Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern
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(z. B. 𝔽₅, modulo _p_ für eine Primzahl)
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- lineare Ausdehnung
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Berechnungen ---> siehe [/notes/berechnungen_wk12.md](../../notes/berechnungen_wk12.md).
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(Siehe auch Berechnungen in [Woche 10](../../notes/berechnungen_wk10.md).)
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