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@@ -3078,16 +3078,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
     \label{ska:4:ex:1}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
-Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
-können wir eindeutig die Relation
-    $\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
-zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
-(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
-Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
-In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
-(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
-aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
+    Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
+    Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
+    können wir eindeutig die Relation
+        $\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
+    zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
+    (siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
+    Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
+    In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
+    (siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
+    aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
 
 %% SKA 4-2
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3096,7 +3096,67 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:2}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    \textbf{Hinweis:} Hier scheint im Punkt (ii) etwas verwechselt worden zu sein.
+
+    Seien $M$, $N$ Mengen und $R\subseteq M\times N$.
+
+    \begin{claim}
+        \makelabel{claim:main:ska:4:ex:2}
+        Angenommen, $R$ erfülle folgende Eigenschaften:
+
+        \begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
+            \item\punktlabel{1}
+                $\forall{x\in M:~}\exists{y\in N:~}(x,y)\in R$
+            \item\punktlabel{2}
+                $\forall{x\in M:~}\forall{y,y'\in N:~}
+                    (x,y),(x,y')\in R
+                    \Rightarrow y=y'$
+        \end{kompaktenum}
+
+        Dann existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Funktion,
+        ${f:M\to N}$,
+        so dass $\graph(f)=R$.
+    \end{claim}
+
+        \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
+        \begin{proof}
+            Wir definieren ${f:M\to N}$ durch
+
+                \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                    f(x) &= &y\\
+                \end{mathe}
+
+            für $(x,y)\in R$.
+            Offensichtlich gilt
+                $\graph(f)
+                    =\{(x,y)\in M\times N\mid f(x)=y\}
+                    =\{(x,y)\in M\times N\mid (x,y)\in R\}
+                    =R$.
+
+            \textbf{Zu zeigen:}
+                (1) $f$ ist überall definiert;
+                (2) $f$ ist wohldefiniert.
+
+            \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
+                \item[\uwave{{\bfseries Überall definiert:}}]
+                    Sei $x\in M$.
+                    \textbf{Zu zeigen:} $f(x)=y$ für ein $y\in N$.\\
+                    Eigenschaft \punktlabel{1} besagt, dass ein $y\in M$ existiert,
+                    so dass $(x,y)\in R$.
+                    Per Konstruktion erhalten wir, dass $f(x)=y$ gilt.
+                \item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
+                    Seien $x\in M$ und $y,y'\in N$.
+                    Angenommen, $f(x)=y$ und $f(x)=y'$.\\
+                    \textbf{Zu zeigen:} $y=y'$.\\
+                    Aus $f(x)=y$ und $f(x)=y'$
+                    folgt $(x,y),(x,y')\in R$ per Konstruktion von $f$.\\
+                    Eigenschaft \punktlabel{2} besagt, dass $y=y'$.
+            \end{kompaktenum}
+
+            Darum ist $f$ eine Abbildung zwischen $M$ und $N$
+            und $\graph(f)=R$.
+        \end{proof}
+        \end{einzug}
 
 %% SKA 4-3
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3105,7 +3165,134 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:3}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    Sei $X=\{a,b,c\}$ und betrachte die binäre Relation,
+    $(\Pot(X),\leq)$, definiert durch
+
+        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+            A\leq B &\Longleftrightarrow &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
+        \end{mathe}
+
+    für $A,B\in\Pot(X)$.
+
+    \begin{claim*}
+        $(\Pot(X),\leq)$ ist eine partielle Ordnung (auch »Halbordnung« genannt).
+    \end{claim*}
+
+    Es gibt nun 3 Ansätze, um dies zu zeigen.
+
+        \begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
+            Beobachte, dass für $A,B\in\Pot(X)$
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                A\leq B
+                    &\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
+                        &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
+                    &\Longrightarrow
+                        &X\ohne (X\ohne A)\supseteq X\ohne (X\ohne B)\\
+                    &\Longrightarrow
+                        &A\supseteq B,
+                        \,\text{da $A,B\subseteq X$}\\
+                    &\Longrightarrow
+                        &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
+                    &\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
+                        &A\leq B,\\
+            \end{mathe}
+
+            also $A\leq B\Leftrightarrow A\supseteq B$.
+            Darum kann $(\Pot(X),\leq)$ mit $(\Pot(X),\supseteq)$
+            identifiziert werden.
+            Letzteres ist bekanntermaßen eine Halbordnung.
+        \end{proof}
+
+        \begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
+            Im konkreten Falle von $X=\{a,b,c\}$ können wir die Relation
+            durch ein \emph{Hasse-Diagramm} skizzieren:
+
+                \hraum
+                {\footnotesize
+                \begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
+                    \pgfmathsetmacro\habst{3}
+                    \pgfmathsetmacro\vabst{2}
+
+                    \node[label=below:{$X$}]       (Set1)  at (0*\habst,0*\vabst)  {$\bullet$};
+                    \node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
+                    \node[label=above:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,1*\vabst)  {$\bullet$};
+                    \node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,1*\vabst)  {$\bullet$};
+                    \node[label=left:{$\{a\}$}]   (SetA)  at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
+                    \node[label=below:{$\{b\}$}]   (SetB)  at (0*\habst,2*\vabst)  {$\bullet$};
+                    \node[label=right:{$\{c\}$}]   (SetC)  at (1*\habst,2*\vabst)  {$\bullet$};
+                    \node[label=above:{$\leer$}]   (Set0)  at (0*\habst,3*\vabst)  {$\bullet$};
+
+                    \draw (Set1)  edge [->] (SetAB);
+                    \draw (Set1)  edge [->] (SetAC);
+                    \draw (Set1)  edge [->] (SetBC);
+                    \draw (SetAB) edge [->] (SetA);
+                    \draw (SetAB) edge [->] (SetB);
+                    \draw (SetAC) edge [->] (SetA);
+                    \draw (SetAC) edge [->] (SetC);
+                    \draw (SetBC) edge [->] (SetB);
+                    \draw (SetBC) edge [->] (SetC);
+                    \draw (SetA)  edge [->] (Set0);
+                    \draw (SetB)  edge [->] (Set0);
+                    \draw (SetC)  edge [->] (Set0);
+                \end{tikzpicture}}
+                \hraum
+
+            Man sieht, dass dies einen \emph{Verband} und damit insbesondere eine Halbordnung bildet.
+        \end{proof}
+
+        \begin{proof}[Ansatz III][Ansatz III]
+            Wir gehen die Axiome einer Halbordnung durch:
+
+                \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
+                    \item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
+                        Sei $A\in\Pot(X)$ beliebig.
+                        \textbf{Zu zeigen:} $A\leq A$.\\
+                        Offensichtlich gilt $X\ohne A\subseteq X\ohne A$.\\
+                        Per Konstruktion gilt also $A\leq A$.
+
+                    \item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
+                        Seien $ A, A'\in\Pot(X)$ beliebig.\\
+                        \textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A$ $\Rightarrow$ $A=A'$.\\
+                        Es gilt
+
+                            \begin{mathe}[mc]{rclql}
+                                A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A
+                                    &\Longleftrightarrow
+                                        &X\ohne A\subseteq X\ohne A'
+                                        \,\text{und}\,
+                                        X\ohne A'\subseteq X\ohne A
+                                        &\text{(per Konstruktion)}\\
+                                    &\Longrightarrow
+                                        &X\ohne A=X\ohne A'
+                                        &\text{(per Definition von Mengengleichheit)}\\
+                                    &\Longrightarrow
+                                        &A=A',
+                                        &\text{da $A,A'\subseteq X$}.\\
+                            \end{mathe}
+
+                    \item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
+                        Seien $A, A',(a'',b'')\in\Pot(X)$ beliebig.\\
+                        \textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A''$ $\Rightarrow$ $A\leq A''$.\\
+                        Es gilt
+
+                            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                                A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A''
+                                    &\Longleftrightarrow
+                                        &X\ohne A\subseteq X\ohne A'
+                                        \,\text{und}\,
+                                        X\ohne A'\subseteq X\ohne A''
+                                        \,\text{(per Konstruktion)}\\
+                                    &\Longrightarrow
+                                        &X\ohne A\subseteq X\ohne A''\\
+                                    &\Longleftrightarrow
+                                        &A\leq A''
+                                        \,\text{(per Konstruktion)}.\\
+                            \end{mathe}
+                \end{kompaktenum}
+
+                Darum erfüllt $(\Pot(X),\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.
+        \end{proof}
 
 %% SKA 4-4
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3114,7 +3301,71 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:4}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    Betrachten wir die Halbordnung aus \cite[Beispiel 2.4.2(2)]{sinn2020}.
+    Es sei also $C=\{a,b,c\}$ und
+    die durch folgendes \emph{Hasse-Diagramm} dargestellte Ordnungsrelation auf $Pot(C)$:
+
+        \hraum
+        {\footnotesize
+        \begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
+            \pgfmathsetmacro\habst{3}
+            \pgfmathsetmacro\vabst{2}
+
+            \node[label=above:{$C$}]       (Set1)  at (0*\habst,3*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
+            \node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=left:{$\{a\}$}]   (SetA)  at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
+            \node[label=above:{$\{b\}$}]   (SetB)  at (0*\habst,1*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=right:{$\{c\}$}]   (SetC)  at (1*\habst,1*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=below:{$\leer$}]   (Set0)  at (0*\habst,0*\vabst)  {$\bullet$};
+
+            \draw (Set0)  edge [->] (SetA);
+            \draw (Set0)  edge [->] (SetB);
+            \draw (Set0)  edge [->] (SetC);
+            \draw (SetA) edge [->] (SetAB);
+            \draw (SetA) edge [->] (SetAC);
+            \draw (SetB) edge [->] (SetAB);
+            \draw (SetB) edge [->] (SetBC);
+            \draw (SetC) edge [->] (SetAC);
+            \draw (SetC) edge [->] (SetBC);
+            \draw (SetAB)  edge [->] (Set1);
+            \draw (SetAC)  edge [->] (Set1);
+            \draw (SetBC)  edge [->] (Set1);
+        \end{tikzpicture}}
+        \hraum
+
+    Wenn wir das Element $\leer$ von $\Pot(C)$ entfernen sieht die Struktur folgendermaßen aus
+
+        \hraum
+        {\footnotesize
+        \begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
+            \pgfmathsetmacro\habst{3}
+            \pgfmathsetmacro\vabst{2}
+
+            \node[label=above:{$C$}]       (Set1)  at (0*\habst,3*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
+            \node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=left:{$\{a\}$}]   (SetA)  at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
+            \node[label=above:{$\{b\}$}]   (SetB)  at (0*\habst,1*\vabst)  {$\bullet$};
+            \node[label=right:{$\{c\}$}]   (SetC)  at (1*\habst,1*\vabst)  {$\bullet$};
+
+            \draw (SetA) edge [->] (SetAB);
+            \draw (SetA) edge [->] (SetAC);
+            \draw (SetB) edge [->] (SetAB);
+            \draw (SetB) edge [->] (SetBC);
+            \draw (SetC) edge [->] (SetAC);
+            \draw (SetC) edge [->] (SetBC);
+            \draw (SetAB)  edge [->] (Set1);
+            \draw (SetAC)  edge [->] (Set1);
+            \draw (SetBC)  edge [->] (Set1);
+        \end{tikzpicture}}
+        \hraum
+
+    Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
+    Die Menge der minimalen Elementen ist $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$,
+    d.\,h. es gibt $3$ minimale Elemente.
 
 %% SKA 4-5
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3123,7 +3374,35 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:5}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    Sei $W$ die Menge aller Wörter und $\Sigma$ die Menge aller Buchstaben.
+    O.\,E. können wir annehmen, dass jedes Wort $w\in W$ der Länge $|w|\geq 2$ ist.
+    (In Sprachen wie Englisch, Russisch, usw. ist dies nicht der Fall,
+    aber wir könnten diese trivialen Wörter einfach ausschließen.)
+
+    Betrachten wir die Relation $(W,\sim)$ gegeben durch
+
+        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+            \eqtag[eq:1:ska:4:ex:5]
+            w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
+        \end{mathe}
+
+    wobei
+
+        \begin{mathe}[mc]{rcccl}
+            f &: &W &\to &\Sigma\\
+            &: &w &\mapsto &\text{1. Buchstabe in $w$}\\
+        \end{mathe}
+
+    Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
+    die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
+    Aufgrund dessen und da $(\Sigma,=)$ eine Äquivalenzrelation ist,
+    ist $(W,\sim)$ automatisch eine Äquivalenzrelation auch.
+
+    Eigentlich spielt est keine Rolle, wie die Funktion, $f$, aussieht.
+    Solange die Reduktion \eqcref{eq:1:ska:4:ex:5} gilt,
+    bleibt $(W,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
+    Dies gilt also insbesondere ebenfalls,
+    wenn $f$ den zweitletzten Buchstaben von Wörtern berechnet.
 
 %% SKA 4-6
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3132,7 +3411,34 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:6}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
+    %% SKA 4-6a
+    \item
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                \sum_{i=2}^{6}(-1)^{i}i^{2}
+                    &= &(-1)^{2}\cdot 2^{2}
+                        +(-1)^{3}\cdot 3^{2}
+                        +(-1)^{4}\cdot 4^{2}
+                        +(-1)^{5}\cdot 5^{2}
+                        +(-1)^{6}\cdot 6^{2}\\
+                    &= &4-9+16-25+36
+                    = 22\\
+            \end{mathe}
+
+    %% SKA 4-6b
+    \item
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                \prod_{j=1}^{4}(2j-1)
+                    &= &(2\cdot 1 - 1)
+                        +(2\cdot 2 - 1)
+                        +(2\cdot 3 - 1)
+                        +(2\cdot 4 - 1)\\
+                    &= &1-3+5-7
+                    = -4\\
+            \end{mathe}
+\end{enumerate}
 
 %% SKA 4-7
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3141,7 +3447,94 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:7}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    \begin{claim}
+        \makelabel{claim:main:ska:4:ex:7}
+        Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                \eqcref{eq:1:\beweislabel}
+                \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2} &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
+            \end{mathe}
+
+        Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
+    \end{claim}
+
+        \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
+        \begin{proof}
+            Wir zeigen \Cref{\beweislabel} stumpf per Induktion.
+
+            \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
+                \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
+                    Sei $n=1$. Dann
+
+                        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                            \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
+                                &= &(-1)^{1}1^{2} = -1\\
+                            (-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)
+                                &= &(-1)^{1}\frac{1}{2}\cdot 1\cdot (1+1) = -1\\
+                        \end{mathe}
+
+                    Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
+                    Also gilt $\Phi(1)$
+
+                \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
+                    Sei $n>1$.
+                    Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
+
+                \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
+                    \textbf{Zu zeigen:} $\Phi(n)$ gilt, d.\,h.
+                    Gleichung \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
+                    Es gilt
+
+                        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                            \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
+                                &= &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i}i^{2} + (-1)^{n}n^{2}\\
+                                &= &(-1)^{n-1}\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1) + (-1)^{n}n^{2}\\
+                                &&\text{wegen der IV}\\
+                                &= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n(n-1) + n^{2})\\
+                                &= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n + n^{2})\\
+                                &= &(-1)^{n}\cdot(\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n)\\
+                                &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
+                        \end{mathe}
+
+                    Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
+                    Also gilt $\Phi(n)$.
+            \end{kompaktenum}
+
+            Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
+        \end{proof}
+        \end{einzug}
+
+    Für die Summe $\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}$
+    ist der Ausdruck lediglich
+
+        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+            \sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}
+                &= &\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}-(-1)^{1}\cdot 1-(-1)^{2}2^{2}\\
+                &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)-3\\
+        \end{mathe}
+
+    für alle $n\geq 3$.
+    Sollten wir dies per Induktion beweisen wollen,
+    brauchen wir lediglich im o.\,s. Beweis
+    den \textbf{Induktionsanfang} auf $n=3$ zu ändern.
+    Der Rest bleibt erhalten.
+
+\begin{rem}
+    Induktion hat mit Deduzieren (»Ableiten«) nichts zu tun.
+    Induktion ist nur ein Werkzeug, um Aussagen zu \emph{verifizieren}.
+    Sie hilft uns überhaupt nicht, um \emph{auf die Behauptungen zu kommen}.
+    In diesem konkreten Falle wurde Vorarbeit geleistet
+    und \emph{direkt} argumentiert,
+    um auf den Ausdruck in \eqcref{eq:1:\beweislabel} zu kommen.
+    In dieser Vorarbeit steckt die eigentliche mathematische Arbeit
+    und dies bedarf etwas Kreativität, Intuition, usw.
+    Häufig reicht diese Vorarbeit aber nur,
+    um auf eine sinnvolle Behauptung zu kommen,
+    und zum Schluss runden wir dies mit Induktion ab,
+    um formal die behauptete Aussage zu bestätigen.
+    Das ist die eigentliche Rolle von Induktion als Beweismittel.
+\end{rem}
 
 %% SKA 4-8
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3150,7 +3543,56 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:8}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    \uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
+        Wenn jede Farbe jeweils auf maximal $1$ Karte vorkommt,
+        gibt es $\leq 4\cdot 1=4$ Karten.
+        Aber $5$ Karten wurden gewählt.
+
+    \uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
+        Seien
+            ${X:=\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}}$
+        die Menge der Farben und
+            ${Y:=\{1,2,3,4,5\}}$
+        die Indizes der Karten.
+        Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
+        die der Wahl entspricht, d.\,h.
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Karte $y$ hat Farbe $x$}\}\\
+            \end{mathe}
+
+        für alle Farben $x\in X$.
+
+        Nun, jede Karte, $y\in Y$, hat eine Farbe, sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
+        Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
+        Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
+        Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
+        Also
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
+            \end{mathe}
+
+        Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
+        da jede Karte höchstens eine Farbe hat.
+        Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
+        Darum
+
+            \begin{mathe}[mc]{ll}
+                &|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
+                    = \sum_{x\in X}|f(x)|
+                    \leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
+                \Longrightarrow
+                    &\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| = 5/4 > 1\\
+                \Longrightarrow
+                    &\exists{x\in X:~}|f(x)|>1\\
+                \Longrightarrow
+                    &\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 2\\
+            \end{mathe}
+
+        Nach der Definition von $f$ heißt dies,
+        es gibt eine Farbe, $x\in\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$,
+        so dass mindestens $2$ der gezogenen Karten die Farbe $x$ haben.
 
 %% SKA 4-9
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3159,7 +3601,58 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:9}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    \uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
+        Wenn jeder Kalendartag jeweils von maximal $17$ Studierenden gefeiert wird,
+        gibt es $\leq 366\cdot 17=6222$ Studierende.
+        Aber es gibt $\geq 7000$ Studierende.
+
+    \uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
+        Seien
+            ${X=\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$
+        die Menge der Kalendartage
+        und
+            ${Y=\{x\mid x\,\text{ein/e Studierende/r an der Uni Leipzig}\}}$.
+        Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
+        die der Wahl entspricht, d.\,h.
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Studierende/r $y$ hat am Tag $x$ Geburtstag}\}\\
+            \end{mathe}
+
+        für alle Kalendartage $x\in X$.
+
+        Nun, jede/r Studierende/r, $y\in Y$, hat einen Geburtstag,
+        sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
+        Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
+        Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
+        Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
+        Also
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
+            \end{mathe}
+
+        Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
+        da jede/r Studierende/r höchstens einen Geburtstag hat.
+        Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
+        Darum
+
+            \begin{mathe}[mc]{ll}
+                &|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
+                    = \sum_{x\in X}|f(x)|
+                    \leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
+                \Longrightarrow
+                    &\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| \geq 7000/366 > 19\\
+                \Longrightarrow
+                    &\exists{x\in X:~}|f(x)|>19\\
+                \Longrightarrow
+                    &\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 20\\
+            \end{mathe}
+
+        Nach der Definition von $f$ heißt dies,
+        es gibt einen Kalendartag, ${x\in\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$,
+        so dass mindestens $20$ Studierende $x$ als Geburtstag feiern.
+        Insbesondere gibt es $18$ Menschen, die den gleichen Geburtstag feiern.
 
 %% SKA 4-10
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3168,7 +3661,142 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:10}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    \begin{claim}
+        \makelabel{claim:main:ska:4:ex:10}
+        Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
+
+            \begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
+                \item
+                    Für alle endlichen Mengen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$,
+                    gilt $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$.
+            \end{kompaktitem}
+        Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
+    \end{claim}
+
+        \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
+        \begin{proof}
+            Wir zeigen \Cref{\beweislabel} per Induktion.
+            Als Induktionsanfang widmen wir uns den Fällen $n\leq 2$.
+
+            \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
+                \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
+                    Sei $n=1$. Dann für alle Mengen, $E_{1}$
+
+                        \begin{mathe}[mc]{rcccl}
+                            |\prod_{i=1}^{1}E_{i}|
+                            &= &|E_{1}|
+                            &= &\prod_{i=1}^{1}|E_{i}|\\
+                        \end{mathe}
+
+                    Also gilt $\Phi(1)$.
+                \item[]
+                    Sei $n=2$. Dann gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$
+
+                        \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
+                            |\prod_{i=1}^{2}E_{i}|
+                            &= &|E_{1}\times E_{2}|
+                            &= &|E_{1}|\cdot|E_{2}|
+                            &= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\
+                        \end{mathe}
+
+                    (Dieses Resultat haben wir in \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} ausgelagert.)\\
+                    Also gilt $\Phi(2)$.
+
+                \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
+                    Sei $n>2$.
+                    Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
+
+                \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
+                    Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
+                    \textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
+                    Es gilt
+
+                        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                            |\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
+                                &= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
+                                &= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
+                                &&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
+                                &= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
+                                &&\text{wegen der IV}\\
+                                &= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
+                        \end{mathe}
+
+                    Also gilt $\Phi(n)$.
+            \end{kompaktenum}
+
+            Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
+        \end{proof}
+        \end{einzug}
+
+    Wir müssen noch den Fall für $2$ Mengen beweisen.
+
+    \begin{lemm}
+        \makelabel{lemm:1:ska:4:ex:10}
+        Seien $X$, $Y$ beliebige \uline{endliche} Mengen.
+        Dann $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$.
+    \end{lemm}
+
+        \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
+        \begin{proof}
+            Wir beweisen dies per Induktion über $|Y|$ durchführen.
+
+                \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
+                    \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
+                        Sei $Y$ eine endliche Menge mit $|Y|=0$.
+                        Also $Y=\leer$.
+                        Darum
+
+                            \begin{mathe}[mc]{rcccccccccl}
+                                |X\times Y|
+                                &= &|X\times\leer|
+                                &= &|\leer|
+                                &= &0
+                                &= &|X|\cdot 0
+                                &= &|X|\cdot|Y|.\\
+                            \end{mathe}
+                    \item[]
+                        Sei $Y$ eine $1$-elementige Menge.
+                        Dann $Y=\{y\}$ für ein Objekt, $y$.
+                        Es ist einfach zu sehen, dass
+                            ${x\in X\mapsto (x,y)\in X\times Y}$
+                        eine Bijektion ist.
+                        Folglich sind $X$ und $X\times Y$ gleichmächtig.
+                        D.\,h. $|X\times Y|=|X|=|X|\cdot 1=|X|\cdot|Y|$.
+
+                    \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
+                        Sei $n>1$.
+                        Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
+                        für alle $k$-elementigen Mengen, $Y'$
+                        und für alle $k<n$.
+
+                    \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
+                        Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
+                        \textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ gilt.\\
+                        Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
+                        Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
+                        Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
+                        $|X\times Y'|=|X|\cdot|Y'|=|X|\cdot(n-1)$.\\
+                        Wegen Disjunktheit von $Y'$ und $\{y_{0}\}$,
+                        sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
+                        Es folgt
+
+                            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                                |X\times Y|
+                                    &= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
+                                    &= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
+                                    &= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|\\
+                                    &&\text{wegen Disjunktheit}\\
+                                    &= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1\\
+                                    &&\text{wegen des Falls für $1$-elementigen Mengen}\\
+                                    &= &|X|\cdot n\\
+                                    &&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
+                                    &= &|X|\cdot |Y|,\\
+                            \end{mathe}
+                \end{kompaktenum}
+
+            Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
+        \end{proof}
+        \end{einzug}
 
 %% SKA 4-11
 \let\altsectionname\sectionname
@@ -3177,7 +3805,22 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
     \label{ska:4:ex:11}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-({\itshape Unter Arbeit})
+    In dem Induktionsschritt
+
+    \begin{quote}
+        Jetzt können wir aber auch einen der Goldfische rausnehmen
+        und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen \uline{und mindestens einem} Golfisch.
+    \end{quote}
+
+    Dieser Teil des Arguments voraus, dass unter der zweiten Auswahl von $n$ Fischen
+    ein Goldfisch vorhanden ist.
+    In \emph{dieser} Auswahl kommt aber der zuerst rausgezogene Fisch vor
+    und dieser war kein Goldfisch.
+    Darum muss ein Goldfisch unter den $n-1$ anderen Fischen.
+    Aber das ist nur möglich, wenn $n-1\geq 1$,
+    also wenn $n\geq 2$.
+
+    Das heißt, das Induktionsargument überspringt den Fall $n=2$!
 
 \setcounternach{part}{3}
 \part{Quizzes}