From 58d6128c4196e2b9931ce6c47c5f21314eb4512a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 17 Mar 2021 16:42:46 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Vorbereitung KL2 --- notes/vorbereitungKL2.md | 296 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 296 insertions(+) create mode 100644 notes/vorbereitungKL2.md diff --git a/notes/vorbereitungKL2.md b/notes/vorbereitungKL2.md new file mode 100644 index 0000000..9b305d6 --- /dev/null +++ b/notes/vorbereitungKL2.md @@ -0,0 +1,296 @@ +# Allgemeine Tipps # + +- Vor der Klausur gut ausschlafen, sondern ist die Wahrnehmung (+ Konzentration) beeinträchtigt. +- Habt ein gutes System parat, um schnell die Dokument hochzuladen, damit ihr ggf. auch die Pufferzeit ausnutzen könnt. +- Aufgabe auf getrennten Blättern. +- Zeit aufteilen (z. B. 15 Minuten pro Aufgabe) + - 2 Minuten sorgfältig durchlesen + - (+ 2–5 Min) für Beweise, auch wenn man keinen detaillierten Ansatz hat, aber mindestens die Frage genug versteht, + fange schon an, die Textstruktur aufzuschreiben. + - wenn man nicht weiter weiß, Blatt frei lassen, später zurückkommen. + - Ideal: versuche, insgesamt für die Aufgabe max 10–12 Minuten zu gebrauchen, damit ein paar Minuten zur Kontrolle übrig bleibt. +- Während der Klausur auf die Zeit achten (aber dabei nicht in Panik geraten!). +- Bei nicht zu begründenden Aufgaben (z. B. 1. Teil) versuche zu einem Punkt zu kommen, wo du dir „genügend“ sicher bist, +dass deine Vorgehensweise richtig ist. Lass die super ausführliche Arbeit für später. +Da hier keine Minuspunkte verteilt werden, lieber ein Versuch, der 80% richtig ist, als kein / ein abgebrochener Versuch. +- Wenn du etwas konstruierst, das gewisse Bedingungen erfüllen sollen, +gib dich nicht damit zufrieden, wenn du es konstruiert hast. +Begründe, dass die Bedingungen erfüllt sind. +- Achte darauf: wenn man von einer Annahme (X) auf eine Konklusion (Y) schließen soll, + - es soll eine klare Brücke von logisch-mathematischen Schlüssen von X nach Y geschrieben werden; + - wenn man nicht überall ausführlich sein kann, dann stelle sicher, dass du mindestens bei dem **nicht trivialen Schritt** in diesem Weg + ausführlich bist; + - es soll auf jeden Fall _sichtbar_ sein, dass diese Kette von Schlüssen etwas mit dem Ausgangspunkt (X) zu tun haben, + und allmählich in etwas mit dem Ziel (Y) zu tun haben. + Z. B. in A6 in der Klausur musst man von eine Bedingung über φⁿ auf eine Bedingung über φ kommen. + Wenn im Beweis nirgends etwas über φⁿ richtig gebraucht wurde, dann ist der Ansatz + womöglich ungültig, unvollständig, oder schlimmer: irrelevant zur Aufgabe. + +## Beispiele über Modulararithmetik ## + +Siehe [notes/berechnungen_wk13.md](./berechnungen_wk13.md), sowie Quiz 6. + +## Gleichungssysteme ## + +Siehe Quiz 1 und ÜB 1 Aufgabe 1. + +## Beispiel mit A4 ## + +Wenn man bei einer Aufgabe wie Aufgabe 4 in Klausur1 nicht weiter weiß, +kann man mindestens (1) sich Gedanken machen _Was soll ich hier beweisen?_; +und (2) die grobe Struktur des Beweises aufschreiben: + +- Hauptbehauptung auf kleinere Teile reduzieren. +- Teile auf kleine „Ziele“ reduzieren. + +Z. B. + +``` +Seien V, W VR über K. + +Sei φ : V —> W eine Abb. + +Behauptung: +​ φ linear ⟺ G ein lin. Teilraum von V x W + +Beweis. +​ (⟹) Angenommen, φ sei linear. + <---- [ ... Bemerkung: ich muss diese Annahme unten gebrauchen ... ] + +​ ZU ZEIGEN: G ein lin. Teilraum, d. h. +​ (NL) G nicht die leere Menge. +​ (LK) G unter linearen Kombinationen stabil. + + Unsere neuen Ziele sind also: + +​ ZU ZEIGEN 1: G nicht die leere Menge. + Da φ(0) = 0, gilt (0, 0) ∈ G. Also G nicht leer. + + [ ... Bemerkung: jetzt machen, weil einfach ist ... ] + +​ ZU ZEIGEN 2: G unter linearen Kombinationen stabil. + Seien (v₁,w₁), (v₂,w₂) ∈ G und α₁, α₂ ∈ K. + Wir müssen zeigen α₁·(v₁,w₁) + α₂·(v₂,w₂) ∈ G. + + + [ ... Bemerkung: komme ggf. später auf Aufgabe zurück ... ] + [ ... man sollte auch aufschreib, was (v₁,w₁) ∈ G überhaupt bedeutet in Bezug auf φ ... ] + + + + + + + +​ (⟸) Angenommen, G ein lin. Teilraum. + + ZU ZEIGEN: φ linear, d. h. +​ (LIN) für alle v₁, v₂ ∈ V und c₁, c₂ ∈ K + φ(c₁v₁ + c₂v₂) = c₁φ(v₁) + c₂φ(v₂) + Seien also v₁, v₂ ∈ V und c₁, c₂ ∈ K. + Setze + w1 = φ(v₁) } + w2 = φ(v₂) } <--- [ diese Aussagen können wir bzgl. G schreiben ] + w3 = φ(c₁v₁ + c₂v₂) } + Wir müssen zeigen: w3 = c₁·w1 + c₂·w2. + + [ ... Bemerkung: komme ggf. später auf Aufgabe zurück ... ] + [ ... da G in der Annahme ist, sollte man die Aussage auf eine Aussage in Bezug auf G transformieren ... ] + + + + +QED +``` + +## Aufgabe 5a ## + +``` +Input / Outputvektoren: +v1 = (-1 1)ᵀ w1=(2 3)ᵀ +v2 = (-1 2)ᵀ w2=(2 -2)ᵀ +v3 = (0 -1)ᵀ w3=(0 5)ᵀ + +BEDINGUNGEN: +1) φ(v1) = w1 +2) φ(v2) = w2 +3) φ(v3) = w3 +``` + +Lösung + +``` +EXISTENZ +~~~~~~~~ + +{v1, v2} ist eine Basis, weil lin. unabh. und dim(R^2)=2 +(—> schnelles Argument mit Gaußverf.) + +Laut Satz über lin. Ausd. im Skript (6.1.13) ex. eine (eindeutige) lin. Abb, die φ(v1)=w1 und φ(v2)=w2 erfüllt. +​ (—> wegen der Eindeutigkeit im Satz gibt es insbes. maximal eine lineare Abbildung, die alle 3 Bedingungen erfüllt) + +Wir müssen prüfen, dass φ(v3) = w3 (automatisch) mit erfüllt ist. +Beobachten: v3 = v1 – v2 also wegen Linearität + +​ φ(v3) = φ(v1) – φ(v2) = w1 – w2 = (0 5)ᵀ = w3 + +Darum ex. ein lin. Abb, φ, die alle 3 Bedingungen erfüllt, +nämlich die eben konstruirte Abbildung. +``` + +``` +EINDEUTIGKEIT +~~~~~~~~~~~~~ +Angenommen, ψ sei eine lin. Abb., die Bedingungen 1)–3), erfüllt. +Dann laut des oben zitierten Satzes müssen ψ und φ übereinstimmen, +weil ψ, φ beide die ersten Bedingungen 1)+2) erfüllen +und der Satz eine eindeutige lineare Abbildung liefert. +``` + +``` +ISOMORPHISMUS +~~~~~~~~~~~~~ +Beobachte: φ ist eine lin. Abb. zw. V und V. + +Also gilt +​ φ Isomorphismus +​ ⟺ φ lineare Abbildung + φ inj + φ surj + per Definition von „Iso“ + +​ ⟺ φ surj + weil φ linear und + laut Korollar 6.1.11: φ inj ⟺ φ surjektiv + +​ ⟺ Bild(φ) = V [wegen Lemma 6.1.4] + ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V) +​ ⟺ dim(Bild(φ)) ≥ dim(V) (**) + +Darum reicht es aus, (**) ZU ZEIGEN. +Dafür müssen wir dim(Bild(φ)) berechnen (---> NEUES ZIEL) +Wir wissen, dass + +​ Bild(φ) ⊇ lin{w1, w2, w3} + +Nun ist {w1, w3} linear unabhängig Darum + +​ dim(Bild(φ)) ≥ dim(lin{w1, w2, w3}) ≥ dim(lin{w1, w3}) = 2 wegen lin. Unabhängigkeit + +Also haben wir (**) gezeigt. +Wie oben durch die doppelte Implikation erklärt wird, +haben wir gezeigt, dass φ ein Isomorphismus ist. +``` + +## Aufgabe 6 ## + + +A6a) + +``` +Behauptung: + φ erfüllt [Bedingung] ⟺ φ nicht inv. +Beweis. + Fixiere ein n ≥ 1, s. d. φ^n = 0 gilt. + +​ ZU ZEIGEN: φ hat kein Inverses (d. h. es gibt lin Abb ψ, so dass ψ ￮ φ = φ ￮ ψ = id). + Angenommen, nicht. D. h. φ hat ein Inverses (d. h. ist bijektiv). + Weil die Komposition zweier Bijektionen wiederum eine Bijektion ist, + ist φ^2 = φ ￮ φ bijektiv, +​ und φ^3 = φ^2 ￮ φ ebenfalls, +​ und φ^4 = φ^3 ￮ φ ebenfalls, +​ ... +​ Also per Induktion ist φ^n bijektiv. +​ Aber φ^n = 0, was nicht bijektiv ist. +​ Widerspruch! +​ Darum gilt die Annahme nicht. +​ Also ist φ nicht invertierbar. +QED +``` + +A6b) + +``` +Behauptung: + Angenommen, φ erfüllt [Bedingung] + + für ein v ∈ V gilt v ≠ 0 und φ(v) ≠ 0. + Dann Kern(φ) ∩ Bild(φ) ≠ {0}. +``` + +``` +BEOBACHTUNG: {0} immer ⊆ Kern(φ) und Bild(φ). +Also hier muss gezeigt werden: + dass {0} ⊂ .... strikt,# + d. h. dass es ein w ∈ V, w ≠ 0, +​ so dass w im SCHNITT liegt, d. h. +​ 1) w ≠ 0, +​ 2) φ(w) = 0, <— „w im Kern“ + 3) w = φ(u), u ∈ V <— „w im Bild“ +``` + +``` +Beweis (von Behauptung): +​ Wir betrachten die Folge: + +​ 0 ≠ v, 0 ≠ φ(v), φ(φ(v)), φ(φ(φ(v))), …, φ^n(v) = 0, + +​ Darum gibt es eine Übergangsstelle k, so dass + +​ φᵏ¯¹(v) ≠ 0 und φᵏ(v) = 0. + +​ Insbesondere gilt 2 ≤ k ≤ n, wegen der Voraussetzungen auf φ und v. + +​ Wir wählen nun w := φᵏ¯¹(v). + Per Konstruktion gelten + +​ w = φᵏ¯¹(v) ≠ 0 +​ φ(w) = φ(φᵏ¯¹(v)) = φᵏ(v) = 0 + + Das sind 1) + 2) oben. Es bleibt noch 3) zu zeigen. + Da k ≥ 2, ist φᵏ¯²(v) ein wohldefiniertes Element in V + und + ​ w = φᵏ¯¹(v) = φ(φᵏ¯²(v)). + + Also sind 1) + 2) + 3) erfüllt, + und wir haben ein Element, w, im Kern(φ) und Bild(φ) gefunden, + das ungleich 0 ist. + + Also Kern(φ) ∩  Bild(φ) ≠ {0}. +QED +``` + +A6c) + +``` +Finde φ so, dass φ [Bedingung] und φ ≠ 0 gellten. +Arbeite mit Matrizendarstellung. + +​ A = ( 0 1 ) +​ ( 0 0 ) [ ... geschicktes Ausprobieren: siehe Aufnahme ... ] + +- Es gilt A ≠ 0 +- Es gilt A² = 0, sodass A stark kontrahierend ist. + +Wir haben durch diese Matrizendarstellung +somit eine lineare Abbildung konstruiert, +die beide Bedingungen erfüllt (und diese begründet). +``` + +A6d) + +``` +Finde φ so, dass φ nicht [Bedingung] und φ nicht inv. + +BEOBACHTUNG: Wir zeigen damit dass der Umkehrschluss zu (a), also +​ φ nicht inv ⟹ φ erfüllt [Bedingung], +nicht gültig sei. + +Arbeite mit Matrizendarstellung (weil lin. Abb mit Matrizen identifiert werden können). + A = ( 1 1 ) +​ ( 1 1 ) [ ... geschicktes Ausprobieren: siehe Aufnahme ... ] + +- A hat lin. abh. Spalten, also nicht inv. +- A^n hat nur positive Einträge, also wird niemals A^n = 0 gelten für n ≥ 1. + +Wir haben durch diese Matrizendarstellung +somit eine lineare Abbildung konstruiert, +die beide Bedingungen erfüllt (und diese begründet). +```