diff --git a/notes/berechnungen_wk8.md b/notes/berechnungen_wk8.md index df18b1d..d6bb32a 100644 --- a/notes/berechnungen_wk8.md +++ b/notes/berechnungen_wk8.md @@ -1 +1,150 @@ # Woche 8 # + +## Hinweise zu ÜB 8-1 ## + +Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume: + + U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}, + U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}. + +Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich + +- x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0, +- x ∈ U₂ ⟺ A₂x = 0, +- x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ, + +wobei + +- A₁ = die 1 x 4 Matrix + + (1 3 -4 -1), + +- A₂ = die 1 x 4 Matrix + + (1 -5 -2 1), + +- A₃ = die 2 x 4 Matrix + + (1 3 -4 -1) + (1 -5 -2 1). + +1) Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0. + Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform. + Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei. + Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen. + + u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃, x₄=0] + u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂, x₄=0] + u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂, x₃=0] + + Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), + und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁. + Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁. + +2) analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis + {v₁, v₂, v₃}, wobei + + v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ + v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ + v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ. + +3) Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0. + In Zeilenstufenform wird A₃ zu + + A₃ ~~> (1 3 -4 -1) + (0 8 -2 -2) + + Also sind x₃ und x₄ frei. + Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente, + indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen: + + w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0] + w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0] + + Wir können diese Vektoren beliebig skalieren. + Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen: + + w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ + w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ + + Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), + und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂. + Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂. + +4) Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen + + U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃} + = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} + + Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂. + Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig, + also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf, + um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen: + + (u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃) + + ( -3 4 1 5 2 -1 ) + = ( 1 0 0 1 0 0 ) ·3, + Z1 + ( 0 1 0 0 1 0 ) + ( 0 0 1 0 0 1 ) + + ( -3 4 1 5 2 -1 ) + ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) + ( 0 1 0 0 1 0 ) · -4, + Z2 + ( 0 0 1 0 0 1 ) + + ( -3 4 1 5 2 -1 ) + ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) + ( 0 0 1 8 -2 -1 ) + ( 0 0 1 0 0 1 ) · -1 + Z3 + + ( -3 4 1 5 2 -1 ) + ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) + ( 0 0 1 8 -2 -1 ) + ( 0 0 0 8 -2 -2 ) + + Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin: + {u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab. + Darum gilt + + U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁}, + + sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist. + Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂, + erhalten wir + + U₁ + U₂ = V. + +## Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4) ## + +Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten. +Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist, +und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass + + U₁ + U₂ = V. + +## Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4) ## + +Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten + + U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄} + = {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ + U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄} + = {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ + +und damit gilt + + U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥ + [hierfür braucht man ein Lemma (1)] + = (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥ + [hierfür braucht man ein Lemma (2)] + = (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥ + = (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥ + [hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet] + = ({0})^⊥, + da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind, + und damit gibt es kein gemeinsames Element + in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor + = V, da alles in V zu 0 senkrecht steht. + +Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen. diff --git a/protocol/woche8/README.md b/protocol/woche8/README.md index 4a91541..15790b1 100644 --- a/protocol/woche8/README.md +++ b/protocol/woche8/README.md @@ -10,22 +10,11 @@ - ( ) ÜB7 - evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest). - ( ) ÜB8 / Hinweise - - Aufgabe 8-1. - - Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴. - - Berechne Basisergänzungen {u₁} - ---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden, - um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen. - - Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen. - - Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁ - - Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}. - - U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄). - - U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃} - ---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an, - um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren. + - Aufgabe 8-1. Siehe [/notes](../../notes/berechnungen_wk8.md). - Aufgabe 8-2. - [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)] - - (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1 - (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis + - (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1 - [Skript, Korollar 5.4.4] - (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig. - Da |A|=d+1=dim(ℝ[x]_d) ist A eine Basis.