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@ -0,0 +1,296 @@
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# Allgemeine Tipps # |
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- Vor der Klausur gut ausschlafen, sondern ist die Wahrnehmung (+ Konzentration) beeinträchtigt. |
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- Habt ein gutes System parat, um schnell die Dokument hochzuladen, damit ihr ggf. auch die Pufferzeit ausnutzen könnt. |
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- Aufgabe auf getrennten Blättern. |
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- Zeit aufteilen (z. B. 15 Minuten pro Aufgabe) |
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- 2 Minuten sorgfältig durchlesen |
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- (+ 2–5 Min) für Beweise, auch wenn man keinen detaillierten Ansatz hat, aber mindestens die Frage genug versteht, |
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fange schon an, die Textstruktur aufzuschreiben. |
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- wenn man nicht weiter weiß, Blatt frei lassen, später zurückkommen. |
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- Ideal: versuche, insgesamt für die Aufgabe max 10–12 Minuten zu gebrauchen, damit ein paar Minuten zur Kontrolle übrig bleibt. |
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- Während der Klausur auf die Zeit achten (aber dabei nicht in Panik geraten!). |
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- Bei nicht zu begründenden Aufgaben (z. B. 1. Teil) versuche zu einem Punkt zu kommen, wo du dir „genügend“ sicher bist, |
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dass deine Vorgehensweise richtig ist. Lass die super ausführliche Arbeit für später. |
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Da hier keine Minuspunkte verteilt werden, lieber ein Versuch, der 80% richtig ist, als kein / ein abgebrochener Versuch. |
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- Wenn du etwas konstruierst, das gewisse Bedingungen erfüllen sollen, |
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gib dich nicht damit zufrieden, wenn du es konstruiert hast. |
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Begründe, dass die Bedingungen erfüllt sind. |
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- Achte darauf: wenn man von einer Annahme (X) auf eine Konklusion (Y) schließen soll, |
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- es soll eine klare Brücke von logisch-mathematischen Schlüssen von X nach Y geschrieben werden; |
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- wenn man nicht überall ausführlich sein kann, dann stelle sicher, dass du mindestens bei dem **nicht trivialen Schritt** in diesem Weg |
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ausführlich bist; |
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- es soll auf jeden Fall _sichtbar_ sein, dass diese Kette von Schlüssen etwas mit dem Ausgangspunkt (X) zu tun haben, |
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und allmählich in etwas mit dem Ziel (Y) zu tun haben. |
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Z. B. in A6 in der Klausur musst man von eine Bedingung über φⁿ auf eine Bedingung über φ kommen. |
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Wenn im Beweis nirgends etwas über φⁿ richtig gebraucht wurde, dann ist der Ansatz |
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womöglich ungültig, unvollständig, oder schlimmer: irrelevant zur Aufgabe. |
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## Beispiele über Modulararithmetik ## |
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Siehe [notes/berechnungen_wk13.md](./berechnungen_wk13.md), sowie Quiz 6. |
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## Gleichungssysteme ## |
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Siehe Quiz 1 und ÜB 1 Aufgabe 1. |
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## Beispiel mit A4 ## |
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Wenn man bei einer Aufgabe wie Aufgabe 4 in Klausur1 nicht weiter weiß, |
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kann man mindestens (1) sich Gedanken machen _Was soll ich hier beweisen?_; |
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und (2) die grobe Struktur des Beweises aufschreiben: |
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- Hauptbehauptung auf kleinere Teile reduzieren. |
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- Teile auf kleine „Ziele“ reduzieren. |
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Z. B. |
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Seien V, W VR über K. |
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Sei φ : V —> W eine Abb. |
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Behauptung: |
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φ linear ⟺ G ein lin. Teilraum von V x W |
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Beweis. |
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(⟹) Angenommen, φ sei linear. |
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<---- [ ... Bemerkung: ich muss diese Annahme unten gebrauchen ... ] |
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ZU ZEIGEN: G ein lin. Teilraum, d. h. |
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(NL) G nicht die leere Menge. |
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(LK) G unter linearen Kombinationen stabil. |
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Unsere neuen Ziele sind also: |
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ZU ZEIGEN 1: G nicht die leere Menge. |
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Da φ(0) = 0, gilt (0, 0) ∈ G. Also G nicht leer. |
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[ ... Bemerkung: jetzt machen, weil einfach ist ... ] |
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ZU ZEIGEN 2: G unter linearen Kombinationen stabil. |
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Seien (v₁,w₁), (v₂,w₂) ∈ G und α₁, α₂ ∈ K. |
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Wir müssen zeigen α₁·(v₁,w₁) + α₂·(v₂,w₂) ∈ G. |
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[ ... Bemerkung: komme ggf. später auf Aufgabe zurück ... ] |
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[ ... man sollte auch aufschreib, was (v₁,w₁) ∈ G überhaupt bedeutet in Bezug auf φ ... ] |
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(⟸) Angenommen, G ein lin. Teilraum. |
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ZU ZEIGEN: φ linear, d. h. |
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(LIN) für alle v₁, v₂ ∈ V und c₁, c₂ ∈ K |
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φ(c₁v₁ + c₂v₂) = c₁φ(v₁) + c₂φ(v₂) |
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Seien also v₁, v₂ ∈ V und c₁, c₂ ∈ K. |
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Setze |
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w1 = φ(v₁) } |
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w2 = φ(v₂) } <--- [ diese Aussagen können wir bzgl. G schreiben ] |
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w3 = φ(c₁v₁ + c₂v₂) } |
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Wir müssen zeigen: w3 = c₁·w1 + c₂·w2. |
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[ ... Bemerkung: komme ggf. später auf Aufgabe zurück ... ] |
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[ ... da G in der Annahme ist, sollte man die Aussage auf eine Aussage in Bezug auf G transformieren ... ] |
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QED |
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``` |
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## Aufgabe 5a ## |
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Input / Outputvektoren: |
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v1 = (-1 1)ᵀ w1=(2 3)ᵀ |
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v2 = (-1 2)ᵀ w2=(2 -2)ᵀ |
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v3 = (0 -1)ᵀ w3=(0 5)ᵀ |
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BEDINGUNGEN: |
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1) φ(v1) = w1 |
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2) φ(v2) = w2 |
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3) φ(v3) = w3 |
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``` |
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Lösung |
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``` |
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EXISTENZ |
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~~~~~~~~ |
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{v1, v2} ist eine Basis, weil lin. unabh. und dim(R^2)=2 |
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(—> schnelles Argument mit Gaußverf.) |
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Laut Satz über lin. Ausd. im Skript (6.1.13) ex. eine (eindeutige) lin. Abb, die φ(v1)=w1 und φ(v2)=w2 erfüllt. |
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(—> wegen der Eindeutigkeit im Satz gibt es insbes. maximal eine lineare Abbildung, die alle 3 Bedingungen erfüllt) |
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Wir müssen prüfen, dass φ(v3) = w3 (automatisch) mit erfüllt ist. |
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Beobachten: v3 = v1 – v2 also wegen Linearität |
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φ(v3) = φ(v1) – φ(v2) = w1 – w2 = (0 5)ᵀ = w3 |
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Darum ex. ein lin. Abb, φ, die alle 3 Bedingungen erfüllt, |
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nämlich die eben konstruirte Abbildung. |
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``` |
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EINDEUTIGKEIT |
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~~~~~~~~~~~~~ |
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Angenommen, ψ sei eine lin. Abb., die Bedingungen 1)–3), erfüllt. |
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Dann laut des oben zitierten Satzes müssen ψ und φ übereinstimmen, |
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weil ψ, φ beide die ersten Bedingungen 1)+2) erfüllen |
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und der Satz eine eindeutige lineare Abbildung liefert. |
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``` |
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``` |
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ISOMORPHISMUS |
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~~~~~~~~~~~~~ |
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Beobachte: φ ist eine lin. Abb. zw. V und V. |
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Also gilt |
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φ Isomorphismus |
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⟺ φ lineare Abbildung + φ inj + φ surj |
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per Definition von „Iso“ |
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⟺ φ surj |
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weil φ linear und |
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laut Korollar 6.1.11: φ inj ⟺ φ surjektiv |
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⟺ Bild(φ) = V [wegen Lemma 6.1.4] |
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⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V) |
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⟺ dim(Bild(φ)) ≥ dim(V) (**) |
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Darum reicht es aus, (**) ZU ZEIGEN. |
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Dafür müssen wir dim(Bild(φ)) berechnen (---> NEUES ZIEL) |
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Wir wissen, dass |
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Bild(φ) ⊇ lin{w1, w2, w3} |
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Nun ist {w1, w3} linear unabhängig Darum |
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dim(Bild(φ)) ≥ dim(lin{w1, w2, w3}) ≥ dim(lin{w1, w3}) = 2 wegen lin. Unabhängigkeit |
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Also haben wir (**) gezeigt. |
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Wie oben durch die doppelte Implikation erklärt wird, |
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haben wir gezeigt, dass φ ein Isomorphismus ist. |
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``` |
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## Aufgabe 6 ## |
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A6a) |
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``` |
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Behauptung: |
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φ erfüllt [Bedingung] ⟺ φ nicht inv. |
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Beweis. |
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Fixiere ein n ≥ 1, s. d. φ^n = 0 gilt. |
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ZU ZEIGEN: φ hat kein Inverses (d. h. es gibt lin Abb ψ, so dass ψ ￮ φ = φ ￮ ψ = id). |
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Angenommen, nicht. D. h. φ hat ein Inverses (d. h. ist bijektiv). |
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Weil die Komposition zweier Bijektionen wiederum eine Bijektion ist, |
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ist φ^2 = φ ￮ φ bijektiv, |
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und φ^3 = φ^2 ￮ φ ebenfalls, |
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und φ^4 = φ^3 ￮ φ ebenfalls, |
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... |
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Also per Induktion ist φ^n bijektiv. |
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Aber φ^n = 0, was nicht bijektiv ist. |
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Widerspruch! |
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Darum gilt die Annahme nicht. |
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Also ist φ nicht invertierbar. |
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QED |
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``` |
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A6b) |
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``` |
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Behauptung: |
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Angenommen, φ erfüllt [Bedingung] |
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+ für ein v ∈ V gilt v ≠ 0 und φ(v) ≠ 0. |
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Dann Kern(φ) ∩ Bild(φ) ≠ {0}. |
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``` |
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``` |
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BEOBACHTUNG: {0} immer ⊆ Kern(φ) und Bild(φ). |
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Also hier muss gezeigt werden: |
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dass {0} ⊂ .... strikt,# |
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d. h. dass es ein w ∈ V, w ≠ 0, |
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so dass w im SCHNITT liegt, d. h. |
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1) w ≠ 0, |
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2) φ(w) = 0, <— „w im Kern“ |
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3) w = φ(u), u ∈ V <— „w im Bild“ |
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``` |
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``` |
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Beweis (von Behauptung): |
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Wir betrachten die Folge: |
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0 ≠ v, 0 ≠ φ(v), φ(φ(v)), φ(φ(φ(v))), …, φ^n(v) = 0, |
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Darum gibt es eine Übergangsstelle k, so dass |
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φᵏ¯¹(v) ≠ 0 und φᵏ(v) = 0. |
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Insbesondere gilt 2 ≤ k ≤ n, wegen der Voraussetzungen auf φ und v. |
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Wir wählen nun w := φᵏ¯¹(v). |
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Per Konstruktion gelten |
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w = φᵏ¯¹(v) ≠ 0 |
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φ(w) = φ(φᵏ¯¹(v)) = φᵏ(v) = 0 |
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Das sind 1) + 2) oben. Es bleibt noch 3) zu zeigen. |
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Da k ≥ 2, ist φᵏ¯²(v) ein wohldefiniertes Element in V |
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und |
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w = φᵏ¯¹(v) = φ(φᵏ¯²(v)). |
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Also sind 1) + 2) + 3) erfüllt, |
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und wir haben ein Element, w, im Kern(φ) und Bild(φ) gefunden, |
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das ungleich 0 ist. |
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Also Kern(φ) ∩ Bild(φ) ≠ {0}. |
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QED |
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``` |
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A6c) |
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``` |
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Finde φ so, dass φ [Bedingung] und φ ≠ 0 gellten. |
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Arbeite mit Matrizendarstellung. |
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A = ( 0 1 ) |
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( 0 0 ) [ ... geschicktes Ausprobieren: siehe Aufnahme ... ] |
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- Es gilt A ≠ 0 |
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- Es gilt A² = 0, sodass A stark kontrahierend ist. |
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Wir haben durch diese Matrizendarstellung |
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somit eine lineare Abbildung konstruiert, |
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die beide Bedingungen erfüllt (und diese begründet). |
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``` |
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A6d) |
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``` |
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Finde φ so, dass φ nicht [Bedingung] und φ nicht inv. |
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BEOBACHTUNG: Wir zeigen damit dass der Umkehrschluss zu (a), also |
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φ nicht inv ⟹ φ erfüllt [Bedingung], |
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nicht gültig sei. |
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Arbeite mit Matrizendarstellung (weil lin. Abb mit Matrizen identifiert werden können). |
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A = ( 1 1 ) |
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( 1 1 ) [ ... geschicktes Ausprobieren: siehe Aufnahme ... ] |
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- A hat lin. abh. Spalten, also nicht inv. |
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- A^n hat nur positive Einträge, also wird niemals A^n = 0 gelten für n ≥ 1. |
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Wir haben durch diese Matrizendarstellung |
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somit eine lineare Abbildung konstruiert, |
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die beide Bedingungen erfüllt (und diese begründet). |
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``` |
