master > master: Protokoll W7
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5e8068a589
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@ -77,6 +77,7 @@ Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Inform
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- Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!)
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- Rmd (R Markdown)
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- pynb/JyPyter (Python notebooks)
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- online Editors (siehe z. B. [stackedit](https://stackedit.io/editor)).
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Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien.
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Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist,
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@ -0,0 +1,231 @@
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https://stackedit.io/editor
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# SKA 7 #
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## SKA 7-1 ##
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Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (1)**].
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**Behauptung.** Seien $n\in\mathbb{N}$ und $K$ ein Körper.
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Dann bildet $K^{n}$, versehen mit _punktweise Addition_
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und vermöge $\alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n}$
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definierte Skalarmultiplikation
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einen Vektorraum.,
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**Beweis.**
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1. **Zz**: $(K^{n},+)$ mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe.
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**Ansatz I.** $(K^{n},+,\mathbf{0})$ ist lediglich die Produktgruppe aus $n$ Kopien von $(K,+,0_{K})$,
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also sofort eine kommutative Gruppe.
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**Ansatz II.** Wir gehen die Axiome durch:
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- **Zz:** $(K^{n},+)$ ist assoziativ:
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..
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- **Zz:** $(K^{n},+)$ ist kommutativ:
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Seien $\mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}$.
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Zu zeigen ist, dass
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$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}$.
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$$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}
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=^{\text{Defn}} (u_{i}+v_{i})_{i}
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=^{\ast} (v_{i}+u_{i})_{i}
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=^{\text{Defn}} (v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}
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$$
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Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist.
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- **Zz:** $(K^{n},+)$ hat ein Neutralelement
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..
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- **Zz:** $(K^{n},+)$ hat Inverse
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..
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2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
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- ..
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3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
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Seien $\alpha,\beta\in K$ und $\mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}$.
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Zu zeigen:
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$\begin{array}{rcl}
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\alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\\
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\end{array}$
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Es gilt
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$\begin{array}{rcl}
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\alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u})
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&= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i})_{i})\\
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&= &\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i})_{i}\\
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&= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i}))_{i}\\
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&=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u_{i}))_{i}\\
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&= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u_{i}))_{i}\\
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&= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\\
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\end{array}$
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Gleichung ($\ast$) gilt weil $(K,\cdot)$ assoziativ ist.
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4. **Zz**: $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ für alle $\mathbf{u}\in K^{n}$
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- ..
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Also ist $K^{n}$ ein Vektorraum.
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**QED**
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## SKA 7-2 ##
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Einem jeden Element
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$$\left(\begin{matrix}
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x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\\
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x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3}
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\end{matrix}\right)$$
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aus $M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ können wir das Element
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$$\left(\begin{matrix}
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x_{1,1}\\
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x_{1,2}\\
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||||
x_{1,3}\\
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x_{2,1}\\
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x_{2,2}\\
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x_{2,3}\\
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\end{matrix}\right)$$
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zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung
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$M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6}$
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und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation.
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## SKA 7-3 ##
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Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (4)**].
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**Ansatz I:** Direkt.
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**Ansatz II:** Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu $\mathbb{R}^{3}$.
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Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, $X$) muss man die Axiome durchgehen.
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$f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}$
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Man muss extra zeigen: $v_{f+g}=v_{f}+v_{g}$ und $v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f}$ für alle $f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R})$ und $\alpha\in\mathbb{R}$.
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## SKA 7-4 ##
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Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (2)+(4)**].
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Hinweis: Ein Tuple, $a$, mit Werten in $K$ und Indizes über $\mathbb{N}$
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ist eine Kurzhand für eine Funktion ${a:\mathbb{N}\to K}$.
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Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen.
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(Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.)
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## SKA 7-5 ##
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Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (5)**].
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Ansatz I: direkt.
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Ansatz II: arbeite mit Basen.
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## SKA 7-6 ##
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## SKA 7-7 + 12 ##
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Seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $A\in M_{m\times n}(K)$ eine Matrix und $b\in K^{m}$. Und wir betrachten das LGS $Ax = b$.
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Homogener Lösungsraum: $V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}$.
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Zu zeigen: $V$ ist ein Untervektorraum.
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- **Zz**: $V\neq\emptyset$. Das gilt weil $\mathbf{0}\in V$, weil $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
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- Seien $u,v\in V$ und $\alpha\in K$. **Zz:** $\alpha u+v\in V$.
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Es gilt
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$A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, weil $u,v\in V$. Also gilt $\alpha u+v\in V$ per Konstruktion.
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Lösungsraum: $W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}$.
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Zu zeigen: $W$ ist ein affiner Unterraum.
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- Wenn $Ax=b$ keine Lösung hat, dann gilt $W=\emptyset$ und damit ist $W$ per Definition affin.
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- Wenn $Ax=b$ eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung $x_{0}\in K^{n}$. Darum gilt
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$\begin{array}{rcl}
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W &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, Au=\mathbf{0}\}\\
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&= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, u\in V\}\\
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&= &x_{0}+V\\
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\end{array}$
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Also ist $W$ die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist $W$ affin.
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## SKA 7-8 ##
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## SKA 7-9 ##
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Vgl. [Skript, **Lemma 5.1.6**].
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**Behauptung.** Seien $V$ ein Vektorraum über $K$
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und $U_{i}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist $U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V$ wiederum ein Untervektorraum.
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**Beweis.**
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Wir gehen die Axiome durch:
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(NL) Beachte, dass $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$.
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Darum $0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
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Insbesondere ist $U$ nicht leer.
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(LK) Seien $\alpha,\beta\in K$ und $u,v\in U$.
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**Zz:** $\alpha u+\beta v\in U$.
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Sei $i\in I$. Dann $u,v\in U_{i}$.
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Da $U_{i}$ ein UVR ist, gilt $\alpha u+\beta v\in U_{i}$.
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Da das für alle $i\in I$ gilt, gilt
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$\alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
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Darum ist $U$ ein UVR.
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**QED**
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## SKA 7-10 ##
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## SKA 7-11 ##
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## SKA 7-13 ##
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## SKA 7-14 ##
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## SKA 7-15 ##
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## SKA 7-16 ##
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1 5 3 0
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2 4 0 0
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2 4 0 0
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1 # # | 0
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0 0 1 | 0
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0 0 0 | 0
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==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei
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==> linear abhängig
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@ -0,0 +1,24 @@
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1. **Zz**: Die additive Struktur ist eine kommutative Gruppe.
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Wir gehen die Axiome durch:
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- **Zz:** Assoziativität
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- **Zz:** Kommutativität:
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..
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- **Zz:** additives Neutralelement (Nullelement)
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..
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- **Zz:** Existenz additiver Inverser.
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..
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2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
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- ..
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3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
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- ..
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4. **Zz**: $1\cdot u=u$ für alle Elemente $u$
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- ..
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@ -2,8 +2,9 @@
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## Ablauf ##
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- ( ) allgemeine Ankündigungen
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- (x) allgemeine Ankündigungen
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- Berechnungen —> Beweise?
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- ( ) ÜB5 ?
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- ( ) SKA 7
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- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
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- (x) ÜB5 ?
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- (√) ÜB6
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- (√) SKA 7
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- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
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