diff --git a/notes/berechnungen_wk13.md b/notes/berechnungen_wk13.md index a914c44..92acad6 100644 --- a/notes/berechnungen_wk13.md +++ b/notes/berechnungen_wk13.md @@ -1 +1,35 @@ # Woche 13 # + + +ℤ/10 + +0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +x √ x √ x x x √ x √ + +invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}. + +k invertierbar in ℤ/n +⟺ ggT(k, n) = 1 +⟺ k, n teilerfremd + +TODO: Inverse von Zahl modulo p + +ℤ/2 + +0 1 +- 1 + +ℤ/3 + +0 1 2 +- 1 2 + +ℤ/5 + +0 1 2 3 4 +- 1 3 2 4 + +ℤ/7 + +0 1 2 3 4 5 6 +- 1 4 5 2 3 6 diff --git a/notes/selbstkontrollenaufgaben.md b/notes/selbstkontrollenaufgaben.md index 1f5b95a..3be8236 100644 --- a/notes/selbstkontrollenaufgaben.md +++ b/notes/selbstkontrollenaufgaben.md @@ -59,3 +59,135 @@ In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme, Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0. (_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx._) + +# Lösungen # + +## Verschiedene Fragen über Dimension ## + +1. 0 +2. 0, 1, 2, 3, 4 +3. . + - U + V = { u+v | u ∈ U, v ∈ V } + - U ⊆ U + V, ⟹ dim(U) ≤ dim(U + V) + + {u1, u2, ..., u_n} eine Basis für U + {v1, v2, ..., v_m} eine Basis für V + {u1, u2, ..., u_n, v_i1, ..., v_ir} eine Basis für U + V + + - V ⊆ U + V, ⟹ dim(V) ≤ dim(U + V) + - U + V ⊆ W, ⟹ dim(U + V) ≤ dim(W) + + max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W) + +4. dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V) +5. 4,5,6. Dimensionsformel anwenden: + + dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V) = 6 + 8 - dim(U + V) + + max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W) + ⟹ 8 ≤ dim(U + V) ≤ 10 + ⟹ 6 + 8 - 10 ≤ 6 + 8 - dim(U + V) ≤ 6 + 8 - 8 + ⟹ 4 ≤ dim(U ∩ V) ≤ 6 + +6. für ϕ : U ⟶ V linear gilt dim(U) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ)) +7. für ρ : U ⟶ V linear, injektiv dim(U) ≤ dim(V) +8. für ψ : U ⟶ V linear, definiert man Rang(ψ) = dim(Bild(ψ)) + +## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ## + +1. W sei ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U ⊆ W eine Teilmenge + + - NL: U ≠ Ø + - ADD: U unter Addition stabil + - SKM: U unter Skalarmultiplikation stabil + + oder + + - NL + LK: U unter linearen Kombinationen stabil: + + Seien u1, u2 ∈ U, und seien α1, α2 ∈ K. + ZU ZEIGEN: α1·u1 + α2·u2 ∈ U. + ... + ... + Also gilt α1·u1 + α2·u2 ∈ U. + +2. U × V: + - Elemente: (u,v), u ∈ U, v ∈ V + - Vektoraddition: (u,v) + (u',v') = (u+u', v+v') + - Skalarmultiplikation: α·(u, v) = (α·u, α·v) + +3. Sei R ⊆ U × V. Dann R linearer Untervektorraum ⟺ + - NL: R ≠ Ø + - LK: + + Seien (u1,v1), (u2,v2) ∈ R, und seien α1, α2 ∈ K. + ZU ZEIGEN: α1·(u1,v1) + α2·(u2,v2) ∈ R, + m. a. W. (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R ist zu zeigen. + ... + ... + Also gilt (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R. + +## Verschiedene Fragen über Basis ## + +1. dim(·) = 5, eine Basis ist: 1, x, x^2, x^3, x^4 +2. eine Basis bilden bspw. { E_ij : 1≤i≤4, 1≤j≤3 }, also die 12 Matrizen + + ( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) + ( 0 0 0 0 ), ( 0 0 0 0 ), ... ( 0 0 0 0 ). + ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 1 ) + +3. m·n +4. A sei die Matrix. + - A —> Zeilenstufenform (am besten normalisiert, aber muss nicht sein) + - anhand Zeilenstufenform Bestimme freie Unbekannten und schreibe Lösung für unfreie Unbekannten in Bezug auf freie auf. + - 0-1 Trick (setze alle freie auf 0 und jeweils eine auf 1 (oder ≠ 0) ==> bestimme Lösung) + - ---> diese bilden eine Basis des Lösungsraums, das heißt von {x | Ax=0} + - **Zur Kontrolle:** prüfen, dass Ae = 0 für alle e in Basis + - **Beachte:** dim(Kern(A)) = Größe dieser Basis. +5. A sei die Matrix. + - A —> Zeilenstufenform + - merke die Stellen wo Treppen sind ---> entsprechende Spalten in A bilden eine Basis + - **Beachte:** dim(Bild(A)) = Größe dieser Basis + - **Zur Kontrolle:** prüfen, dass die Dimensformel für lineare Abbildungen gilt, + d. h. dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = dim(Inputvektorraum) = Anzahl der Spalten von A insgesamt + +## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ## + +Testet selbst, dass ihr die Axiome kennt (oder wisst, wo im Skript sie zu finden sind) +und wie ihr im Beweis mit ihnen umgeht / wie ihr die für eine gegeben konkrete Relation zeigt! 🙂 + +## Verschiedene Aspekte von Beweisen ## + +### Aufgabe 1. ### + + Zu zeigen: (1) U ∩ V ≠ Ø, + und (2) für u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K + gilt a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V + + Zu (1): + ... + ... + ... + also ist .... in U ∩ V + also ist U ∩ V nicht leer. + + Zu (2): seien u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K. + Dann + ... + ... + ... + a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V. + +### Aufgabe 2. ### + + (⟹) Sei angenommen, .... [1. Aussage]. Zu zeigen: .... [2. Aussage]. + ... + ... + ... + Also gilt [2. Aussage]. + + (⟹) Sei angenommen, .... [2. Aussage]. Zu zeigen: .... [1. Aussage]. + ... + ... + ... + Also gilt [1. Aussage]. diff --git a/protocol/woche13/README.md b/protocol/woche13/README.md index 96cfb4f..e8516dd 100644 --- a/protocol/woche13/README.md +++ b/protocol/woche13/README.md @@ -2,10 +2,13 @@ ## Ablauf ## -- ( ) Organisatorische Fragen +- (√) Organisatorische Fragen - Warten noch Leute auf Bewertung für die Zulassung? - [**zusatz.pdf**](../../docs/zusatz.pdf) -- ( ) Fragen für die Klausurvorbereitung. Ein paar Tipps: +- (√) Fragen für die Klausurvorbereitung. + - Berechnung vom Inversen modulo n (n prim, aber auch mit n nicht prim). + - Berechnung im LGS über einem endlichen Körper (Zusatzblatt > Aufgabe 2·2 besprochen). +- (√) Ein paar Tipps: - Gebrauch von Ergebnissen aus dem Skript: Man braucht nur das Resultat zu erwähnen, z. B. @@ -19,4 +22,5 @@ um die Existenz eines Isomorphismus zu zeigen. - **octave**, **python**, o. Ä. für Berechnungen mit Matrizen. -- ( ) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md) +- (√) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md) + - alles bis auf Axiome für Äquivalenzrelationen/Ordnungsrelationen zusammen besprochen.