master > master: Bemerkung überarbeitet

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@ -1636,20 +1636,19 @@ gelten.
Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir $\dim(\ker(A))=2$,
und hier wurde nebenbei gezeigt, dass $\rank(A)=\dim(\range(A))=3$.
Also gilt $\dim(\ker(A))+\rank(A)=5=\dim(\reell^{5})$,
sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{
Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig ist.
Dies ist lediglich zu kontrollieren,
dass unsere Basen »nicht offensichtlich falsch« sind.
}
sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.
\begin{rem*}
Die hier verwendete Matrix, $A$, war »die gleiche« wie in Aufgabe 1.
Nur war der Körper anders.
Wir sehen, dass wir nicht einfach so die über $\reell$ berechnete Zeilenstufenform
in dieser Aufgabe übernehmen durften.
Wenn man die Berechnung der Zeilenreduktion als Zwischenschritt betrachtet,
so erkennt man, dass dieser Zwischenschritt beim Wechseln des Körper
der Sicherheit halber nochmals durchgeführt werden muss.
Die hier verwendete Matrix, $A$, war »die gleiche« wie in Aufgabe 1,
nur mit einem anderen Körper.
Wir sehen, dass wir die über $\reell$ berechnete Zeilenstufenform
in dieser Aufgabe nicht einfach so übernehmen durften.
D.\,h. wenn im 1. Teil einer Aufgabe man eine Basis des Lösungsraums von $A$ über $\reell$ bestimmen soll,
und dann im 2. Teil eine Basis des Spaltenraums von $A$ über $\reell$
und dann im 3. Teil eine Basis des Spaltenraums von $A$ über bspw. $\mathbb{F}_{7}$,
dann kann man im 1.+2. Teil dieselbe Zeilenstufenform gebrauchen,
aber im 3. Teil berechnet man die Zeilenstufenform am liebsten ganz von vorne in dem neuen Körper,
um einer Nummer sicher zu gehen.
\end{rem*}
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