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@@ -3781,7 +3781,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                         sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
                         Es folgt
 
-                            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                            \begin{longmathe}[mc]{RCL}
                                 |X\times Y|
                                     &= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
                                     &= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
@@ -3792,7 +3792,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                                     &= &|X|\cdot n\\
                                     &&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
                                     &= &|X|\cdot |Y|,\\
-                            \end{mathe}
+                            \end{longmathe}
                 \end{kompaktenum}
 
             Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
@@ -3862,7 +3862,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                         \node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
                         \node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
                         \node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
-                        \node[above right = 0.4*\rad and 0.4*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
+                        \node[above right = 0.3*\rad and 0.3*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
                         \node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
                         \node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
 
@@ -3876,13 +3876,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                 Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
                 gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
 
-                Jetzt betrachten wir die rechte Teilmenge, $X_{1}$.\\
-                \fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.}\\
-                Wegen (\textdagger) gilt $G(\tilde{x})$.\\
-                Da $\tilde{x}\neq x_{0}$, liegt dieser Fisch nun in der Auswahlmenge $X_{1}$.\\
-                Also ist $X_{1}$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{1}\in X_{1}$ und $G(x_{1})$.\\
-                Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
-                Daraus folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da $X=X_{1}\cup\{x_{0}\}$.
+                \fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$}
+                und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$ .\\
+                Dann ist $X'$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{0}\in X_{1}$ und $G(x_{0})$.\\
+                Per IV gilt also $\forall{x\in X':~}G(x)$.\\
+                Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X'$.\footnote{
+                    Per Wahl gilt $\tilde{x}\in X_{0}=X\ohne x_{1}$.
+                    Also, $\tilde{x}\neq x_{1}$.
+                    Also, $x_{1}\in X'$.
+                    Also, $X=X_{0}\cup\{x_{1}\}\subseteq X_{0}\cup X'\subseteq X$.
+                }
 
                 Darum gilt $\Phi(n)$.
         \end{kompaktenum}
@@ -3893,12 +3896,14 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
     Das Problem mit diesem Argument steckt im Induktionsschritt an genau dieser Stelle:
 
     \begin{quote}
-        Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.
+        \itshape
+        Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$ \ldots
     \end{quote}
 
     Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
 
     \begin{quote}
+        \itshape
         Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
     \end{quote}