From 7017496e2a8b08aa09d258b0ac5c8f6563fbc569 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 24 Mar 2021 14:37:16 +0100 Subject: [PATCH] master > master: notizen --- notes/vorbereitungKL2_2.md | 105 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 105 insertions(+) create mode 100644 notes/vorbereitungKL2_2.md diff --git a/notes/vorbereitungKL2_2.md b/notes/vorbereitungKL2_2.md new file mode 100644 index 0000000..646731c --- /dev/null +++ b/notes/vorbereitungKL2_2.md @@ -0,0 +1,105 @@ + + +v1=... w1=... +v2=... w2=... wie in Aufgabe +v3 = (1 0 0) + [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist] +wähle w3 in R^3 beliebig + ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) + +5b) +ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. + ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. + ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. + Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) + Sei x ∈ Kern(φ). + Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 + Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 + Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis + Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. + ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} + (beachte, dass 0 immer im Kern ist) + ===> φ injektiv. + + ODER + + Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. + +iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben. +Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften. +Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. +Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. + +Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: + +(1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0} + <==> dim(Kern(φ)) = 0 + <==> dim(Bild(φ)) = dim(V) + <==> Rang(φ) = dim(V) + <==> Rang(φ) ≥ dim(V) + +(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W + <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) + <==> Rang(φ) = dim(W) + <==> Rang(φ) ≥ dim(W) + + z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh. + dann dim(Bild(φ)) = r + + +A = ( a_ij ) eine m x n Matrix +B = ( b_ij ) eine m x n Matrix + +A + 5B = ( a_ij + 5b_ij ) + +A = ( a_ij ) eine m x n Matrix + ¯ +B = ( b_ij ) eine n x l Matrix + ¯ +(„innere Dimensionen“ müssen übereinstimmen, um Matrixmult. durchzuführen) + n +A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj + k=1 + + l +B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj + k=1 + + + +## BEWEISE ## + +d) + + Behauptung. A,B ⊆ Y gilt f^-1(A∩B) = f^−1(A) ∩ f^−1(B). + + Beweis. + (⊆) Sei x ∈ f^-1(A∩B) beliebig. + Zu zeigen: x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B). + D. h. wir müssen zeigen, + dass x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B). + + Es gilt + + x ∈ f^-1(A∩B) + ⟹ f(x) ∈ A ∩ B (per Definition von f^-1) + ⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B + ⟹ x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B) (per Definition von f^-1) + + Darum gilt x ∈ r. S. + + + (⊇) Sei x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B). + D. h. x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B). + Zu zeigen: x ∈ f^-1(A∩B). + + Es gilt + + x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B) + ⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B (per Definition von f^-1) + ⟹ f(x) ∈ A ∩ B + ⟹ x ∈ f^-1(A∩B) (per Definition von f^-1) + + Darum gilt x ∈ l. S. + + QED.