raj_mathe/linalg2020
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master > master: kleine Korrketur zu SKA 6-8

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@ -5806,7 +5806,7 @@ $r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cd
Für jedes $m\in\intgr$ mit $p\ndivides m$ Für jedes $m\in\intgr$ mit $p\ndivides m$
ist die Abbildung ist die Abbildung
${M_{m}:\intgr/p\intgr\to\intgr/p\intgr}$, ${M_{m}:\intgr/p\intgr\to\intgr/p\intgr}$,
die vermöge $M_{m}([x])=[m]\cdot[x](=[mx])$ die vermöge $M_{m}([x])=[m]\cdot[x](=[mx])$ definiert wird,
wohldefiniert und injektiv. wohldefiniert und injektiv.
Insbesondere existert ein $[x]\in\intgr/p\intgr$, Insbesondere existert ein $[x]\in\intgr/p\intgr$,
so dass $[m]\cdot [x]=[1]$. so dass $[m]\cdot [x]=[1]$.
@ -5819,10 +5819,10 @@ $r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cd
\uwave{{\bfseries Injektivität:}}\\ \uwave{{\bfseries Injektivität:}}\\
Seien $[x],[x']\in\intgr/p\intgr$. Seien $[x],[x']\in\intgr/p\intgr$.
Angenommen $M_{m}([x])=M_{m}([x'])$.\\ Angenommen $M_{m}([x])=M_{m}([x'])$.
\textbf{Zu zeigen:} $[x]=[x']$.\\ \textbf{Zu zeigen:} $[x]=[x']$.\\
Aus $M_{m}([x])=M_{m}([x'])$ Aus $M_{m}([x])=M_{m}([x'])$
folgt $[mx]=[mx']$ per Konstruktion von der Abbildung $M_{m}$.\\ folgt $[mx]=[mx']$ per Konstruktion der Abbildung $M_{m}$.\\
Per Definition der Äquivalenzklassen Per Definition der Äquivalenzklassen
gilt somit $mx\equiv mx'$ modulo $p$.\\ gilt somit $mx\equiv mx'$ modulo $p$.\\
Daraus folgt ${p\divides (mx-mx')}$, Daraus folgt ${p\divides (mx-mx')}$,
@ -5845,11 +5845,9 @@ $r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cd
\textbf{Bemerkung.} \textbf{Bemerkung.}
Die letzte Aussage in diesem Satz gilt auch allgemeiner: Die letzte Aussage in diesem Satz gilt auch allgemeiner:
Sind $n,m\in\intgr$ teilerfremd, dann ist $[m]$ innerhalb $\intgr/n\intgr$ Sind $n,m\in\intgr$ teilerfremd, dann ist $[m]$ innerhalb $\intgr/n\intgr$ invertierbar.
invertierbar. Falls $n$ nicht prim ist, muss man sich allerdings bei der Injektivitätsargumentation mehr bemühen.
Aber wenn $n$ nicht prim ist, können wir das o.\,s. Argument nicht verwenden, Einfacher ist also natürlich die Anwendung von dem Lemma von B\'ezout.
da das Zwischenresultat der Injektivität nicht mehr gilt.
Stattdessen müssen wir schon das Lemma von B\'ezout anwenden.
\setcounternach{part}{3} \setcounternach{part}{3}
\part{Quizzes} \part{Quizzes}