diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf index ffb550e..d402516 100644 Binary files a/docs/loesungen.pdf and b/docs/loesungen.pdf differ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex index dc93c8b..81a6e33 100644 --- a/docs/loesungen.tex +++ b/docs/loesungen.tex @@ -55,11 +55,7 @@ %% | %% — body/uebung/ueb5.tex; %% | -%% — body/ska/ska1.tex; -%% | -%% — body/ska/ska2.tex; -%% | -%% — body/ska/ska3.tex; +%% — body/uebung/ueb6.tex; %% | %% — body/ska/ska4.tex; %% | @@ -1321,6 +1317,8 @@ \def\restr#1{\vert_{#1}} \def\ohne{\setminus} \def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}} +\def\einser{\mathbf{1}} +\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}} \def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} \def\lsim{\mathop{\sim}} @@ -3777,23 +3775,817 @@ gilt. \end{proof} \end{enumerate} +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb6.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{6} +\chapter[Woche 6]{Woche 6} + \label{ueb:6} + +\textbf{ACHTUNG.} +Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. +Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. +Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. + +%% AUFGABE 6-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:6:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +Es sei $X$ eine Menge und $R=\Pot(X)$. +Auf $R$ definiere man die folgenden Verknüpfungen: + +\begin{mathe}[mc]{rcl} + A+B &= &A\cup B\ohne(A\cap B)\\ + A\cdot B &= &A\cap B\\ +\end{mathe} + +für alle $A,B\in R$. + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 6-1a + \item + Die Additions und Multiplikationstabellen für eine $3$-elementige Menge, $X=\{a,b,c\}$, + sehen wie folgt aus: + + \hraum + \begin{tabular}[mc]{|C|CCCCCCCC|} + \hline + + &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ + \hline + \leer &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ + \{c\} &\{c\} &\leer &\{b,c\} &\{b\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,b,c\} &\{a,b\}\\ + \{b\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\{a\} &\{a,c\}\\ + \{b,c\} &\{b,c\} &\{b\} &\{c\} &\leer &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{a,c\} &\{a\}\\ + \{a\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\}\\ + \{a,c\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{c\} &\leer &\{b,c\} &\{b\}\\ + \{a,b\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\}\\ + \{a,b,c\} &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{a,c\} &\{a\} &\{b,c\} &\{b\} &\{c\} &\leer\\ + \hline + \end{tabular} + \hraum + + \hraum + \begin{tabular}[mc]{|C|CCCCCCCC|} + \hline + \cdot &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ + \hline + \leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer\\ + \{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\}\\ + \{b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\}\\ + \{b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\}\\ + \{a\} &\leer &\leer &\leer &\leer &\{a\} &\{a\} &\{a\} &\{a\}\\ + \{a,c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,c\}\\ + \{a,b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\} &\{a\} &\{a\} &\{a,b\} &\{a,b\}\\ + \{a,b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ + \hline + \end{tabular} + \hraum + + Der Additionstabelle ist zu entnehmen, dass \fbox{$\leer$ das Nullelement} (d.\,h. additives Neutralelement) ist. + Der Multiplikationstabelle ist zu entnehmen, dass \fbox{$\{a,b,c\}$ das Einselement} (d.\,h. multiplikatives Neutralelement) ist.\\ + + %% AUFGABE 6-1b + \item + Sei nun $X$ eine allgemeine Menge. + + \begin{claim} + \makelabel{claim:main:ueb:6:ex:1b} + $(R,+,\cdot,\leer,X)$ bildet einen kommutativen Ring, + wobei $R=\Pot(X)$. + \end{claim} + + Es gibt hier zwei Ansätze. + + \begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz I] + Wir gehen einfach alle Axiome durch. + Zunächst aber beobachten wir für alle $A,B\in R$ + und $x\in X$, dass + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:0:simplification:\beweislabel] + x\in A+B + &\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow} + &x\in (A\cup B)\ohne(A\cap B)\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{$x$ in $A$ oder $B$, aber nicht beides}\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$}.\\ + \end{mathe} + + Darauf werden wir uns in einigen Berechnungen berufen. + + \begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\bfseries Addition/Assoziativität:}}] + Seien $A,B,C\in R$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $(A+B)+C=A+(B+C)$.\\ + Da es sich auf beiden Seiten der Gleichung um Mengen handelt, + reicht es aus, für alle $x\in X$ \textbf{zu zeigen}, + dass $x\in (A+B)+C$ gdw. $x\in A+(B+C)$.\\ + Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + x\in A+(B+C) + &\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} + &\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B+C$ gilt}\\ + &\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} + &\text{exakt eines von $x\in A$ oder (exakt eines von $x\in B$ oder $x\in C$) gilt}\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$ oder $x\in C$ gilt}\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$, oder $C$}\\ + \end{mathe} + + und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + x\in (A+B)+C + &\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} + &\text{exakt eines von $x\in A+B$ oder $x\in C$ gilt}\\ + &\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} + &\text{exakt eines von (exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$) oder $x\in C$ gilt}\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$ oder $x\in C$ gilt}\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$, oder $C$}\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $x\in A+(B+C)\Leftrightarrow x\in (A+B)+C$ für alle $x\in X$. + Also $A+(B+C)=(A+B)+C$ für alle $A,B,C\in R$. + Also ist $(R,+)$ assoziativ. + + \item[\uwave{{\bfseries Addition/Kommutativität:}}] + Seien $A,B\in R$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $A+B=B+A$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + A+B &\textoverset{Defn}{=} + &(A\cup B)\ohne(A\cap B) + &\overset{(\ast)}{=} &(B\cup A)\ohne(B\cap A) + &\textoverset{Defn}{=} &B+A,\\ + \end{mathe} + + wobei die Gleichung bei $(\ast)$ gilt, + weil die Mengenoperationen, $\cap$ und $\cup$, bekanntermaßen kommutativ sind. + Also ist $(R,+)$ kommutativ. + + \item[\uwave{{\bfseries Addition/Nullelement:}}] + Wir behaupten, dass $0:=\leer$ das additive Neutralelement ist. + Sei also $A\in R$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $A+0=0+A=A$.\\ + Wegen Kommutativität reicht es aus, $A+0=A$ zu zeigen. + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + A+0 &\textoverset{Defn}{=} &(A\cup\leer)\ohne(A\cap\leer) + &= &A\ohne\leer + &= &A\\ + \end{mathe} + + Also ist $\leer$ ein Neutralelement für $(R,+)$. + + \item[\uwave{{\bfseries Addition/Inverses:}}] + Sei $A\in R$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} + Es gibt ein Element $A'\in R$, so dass $A'+A=A+A'=0$.\\ + Wir betrachten als Möglichkeit $A':=A$: + + \begin{mathe}[mc]{rcccccccl} + A'+A &= &A+A + &\textoverset{Defn}{=} + &(A\cup A)\ohne(A\cap A) + &= &A\ohne A + &= &\leer.\\ + \end{mathe} + + Da wie bereits gezeigt, $\leer$ ein Neutralelement in $(R,+)$ ist, + haben wir somit bewiesen, dass $A$ sein eigenes additives Inverses ist. + + \item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Assoziativität:}}] + Da die Mengenschnittoperation bekanntermaßen assoziativ ist, + ist hier eigentlich nichts zu zeigen. + + \item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Kommutativität:}}] + Da die Mengenschnittoperation bekanntermaßen kommutativ ist, + ist hier eigentlich nichts zu zeigen. + + \item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Einselement:}}] + Wir behaupten, dass $1:=X$ das multiplikative Neutralelement ist. + Sei also $A\in R$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $A\cdot 1=1\cdot A=A$.\\ + Wegen Kommutativität reicht es aus, $A\cdot 1=A$ zu zeigen. + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + A\cdot 1 &= &A\cap X &= A,\\ + \end{mathe} + + weil $A\in R=\Pot(X)$ und damit $A\subseteq X$ gilt. + Also ist $X$ ein Neutralelement für $(R,\cdot)$. + + \item[\uwave{{\bfseries Linksdistributivität:}}] + Seien $A,B,C\in R$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$.\\ + Da es sich auf beiden Seiten der Gleichung um Mengen handelt, + reicht es aus, für alle $x\in X$ \textbf{zu zeigen}, + dass $x\in A\cdot(B+C)$ gdw. $x\in (A\cdot B)+(A\cdot C)$.\\ + Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + x\in A\cdot(B+C) + &\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow} + &x\in A\cap((B\cup C)\ohne(B\cap C))\\ + &\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} + &\text{$x$ in $A$ und $x$ in exakt einer der Mengen $B$, $C$}\\ + &\Longleftrightarrow + &\text{$x$ in exakt einer der Mengen $A\cap B$, $A\cap C$}\\ + &\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} + &x\in (A\cdot B)+(A\cdot C).\\ + \end{mathe} + + Also gilt $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$. + Also weist $(R,+,\cdot)$ linksdistributivität auf. + + \item[\uwave{{\bfseries Rechtsdistributivität:}}] + Da Multiplikation kommutativ ist, folgt Rechtsdistributivität + automatisch aus Linksdistributivität. + \end{kompaktitem} + + Darum erfüllt $(R,+,\cdot)$ die Axiome eines Rings + und dieser Ring hat ein Einselement und ist kommutativ, + weil Multiplikation kommutativ ist. + \end{proof} + + \begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz II] + Ein scharfes Auge erkennt, dass wir Teilmengen von $X$ + mit binären Tupeln identifizieren kann. + Wir wollen $R$ mit einer bekannten algebraischen Struktur in Verbindung + setzen, also betrachten wir konkret die Abbildungen + + \begin{mathe}[mc]{rclcl} + \Phi &: &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr &\to &\Pot(X)\\ + &: &\alpha &\mapsto &\supp(\alpha):=\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\\ + \Psi &: &\Pot(X) &\to &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr\\ + &: &A &\mapsto &(\einser_{A}(x))_{x\in X}\\ + \end{mathe} + + um Elemente aus dem einen Raum auf Elemente aus dem anderen zu übertragen.\\ + Nun ist $\intgr/2\intgr$ bekanntermaßen ein kommutativer Ring (eigentlich ein Körper). + Darum ist das Produkt $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$, + versehen mit punktweise Addition und punktweise Multiplikation, + ebenfalls ein kommutativer Ring. + Darum reicht es aus \textbf{zu zeigen}, dass $\Phi$ + eine Bijektion ist, die die Operationen erhält + (auch \emph{Isomorphismus} genannt). + + \begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\bfseries Bijektion:}}] + Wir beobachten, dass + + \begin{mathe}[mc]{rclclclcl} + \Phi(\Psi(A)) + &= &\{x\in X\mid \Psi(A)_{x}=1\} + &= &\{x\in X\mid \einser_{A}(x)=1\} + &= &\{x\in X\mid x\in A\} + &= &A\\ + \end{mathe} + + für alle $A\in\Pot(X)$ und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \Psi(\Phi(\alpha)) + &= &(\einser_{\Phi(\alpha)}(x))_{x\in X}\\ + &= &(\einser_{\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}}(x))_{x\in X}\\ + &= &\left( + \begin{cases}[mc]{lcl} + 1 &: &x\in\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}\\ + 0 &: &\text{sonst}\\ + \end{cases} + \right)_{x\in X}\\ + &= &\left( + \begin{cases}[mc]{lcl} + 1 &: &\alpha_{x}=1\\ + 0 &: &\alpha_{x}=0\\ + \end{cases} + \right)_{x\in X}\\ + &= &(\alpha_{x})_{x\in X}\\ + &= &\alpha\\ + \end{mathe} + + für alle $\alpha\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$. + Also $\Phi\circ\Psi=\id$ und $\Psi\circ\Phi=\id$. + Darum sind $\Phi$ und $\Psi$ Bijektion (und invertieren einander). + + \item[\uwave{{\bfseries Erhaltung der Operationen:}}] + Seien $\alpha,\beta\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$. + \textbf{Zu zeigen:} + $\Phi(\alpha+\beta)=\Phi(\alpha)+\Phi(\beta)$ + und + $\Phi(\alpha\cdot\beta)=\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta)$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \Phi(\alpha+\beta) + &= &\{x\in X\mid (\alpha+\beta)_{x}=1\}\\ + &= &\{x\in X\mid \alpha_{x}+\beta_{x}=1\} + \quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\ + &= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{od.}\,\beta_{x}=1,\,\text{aber nicht beides}\}\\ + &= &(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cup\{x\in X\mid \beta_{x}=1\}) + \ohne(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})\\ + &= &(\Phi(\alpha)\cup\Phi(\beta)) + \ohne(\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta)) + \quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\ + &= &\Phi(\alpha)+\Phi(\beta) + \quad\text{per Definition von Addition in $R$}\\ + \end{mathe} + + und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \Phi(\alpha\cdot\beta) + &= &\{x\in X\mid (\alpha\cdot\beta)_{x}=1\}\\ + &= &\{x\in X\mid \alpha_{x}\cdot\beta_{x}=1\} + \quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\ + &= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{und.}\,\beta_{x}=1\}\\ + &= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\}\\ + &= &\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta) + \quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\ + &= &\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta) + \quad\text{per Definition von Multiplikation in $R$}.\\ + \end{mathe} + + Darum präserviert $\Phi$ die Operationen. + \end{kompaktitem} + + Zusammegefasst haben wir gezeigt, + dass $(R,+,\cdot)$ zu dem kommutativen Ring, $(\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr,+,\cdot)$ isomorph ist + (und zwar mittels $\Phi$), + und damit dass $(R,+,\cdot)$ selbst ein kommutativer Ring ist. + Man sieht auch, dass + das Nullelement durch $\Phi((0)_{x\in X})=\{x\in X\mid 0=1\}=\leer$ + und dass + das Einselement durch $\Phi((1)_{x\in X})=\{x\in X\mid 1=1\}=X$ + gegeben sind. + \end{proof} +\end{enumerate} + +%% AUFGABE 6-2 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:6:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + +Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + z\in\kmplx &\mapsto &\begin{svector}\ReTeil(z)\\\ImTeil(z)\\\end{svector}\in\reell^{2},\\ + \mathbf{x}\in\reell^{2} &\mapsto &x_{1}+\imageinh x_{2}\in\kmplx.\\ + \end{mathe} + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 6-2a + \item + \begin{claim*} + Für alle $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ existieren eindeutige Werte $r\in(0,\infty)$ und $\alpha\in[0,2\pi)$, + dann $z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$ (unter der o.\,s. Identifizierung). + \end{claim*} + + \begin{proof} + Unter der Identifizierung können wir $z=\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$ schreiben, wobei $x,y\in\reell$. + Da $z\neq 0=\begin{svector}0\\0\\\end{svector}$, muss entweder $x\neq 0$ oder $y\neq 0$ gelten. + + Zur {\bfseries Existenz}: + Sei $r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Dann $r>0$ weil $(x,y)\neq (0,0)$.\\ + Um $\alpha$ zu bestimmen, werden folgende Fälle aufgeführt: + + \begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab] + \item + $y=0$. Dann $x\neq 0$ und in diesem Falle gilt $r=|x|$. + Man setze + $\alpha := \begin{cases}[mc]{lcl} + 0 &: &x>0\\ + \pi &: &x<0\\ + \end{cases}$. + Dann $r\cos(\alpha) := + \begin{cases}[mc]{lcl} + r &: &x>0\\ + -r &: &x<0\\ + \end{cases} + = x$ + und $r\sin(\alpha)=0$. + \item + $y>0$. + Man setze $\alpha\in(0,\pi)$ der eindeutige Winkel + mit $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$. + Dann + $r\cos(\alpha)=x$ + und + $r\sin(\alpha)=r\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)} + =\sqrt{r^{2}-(r\cos(\alpha))^{2}} + =\sqrt{(x^{2}+y^{2})-x^{2}} + =\sqrt{y^{2}} + =|y|=y$. + \item + $y<0$. + Man setze $\alpha\in(\pi,2\pi)$ der eindeutige Winkel + mit $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$. + Dann + $r\cos(\alpha)=x$ + und + $r\sin(\alpha)=r\cdot -\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)} + =-\sqrt{r^{2}-(r\cos(\alpha))^{2}} + =-\sqrt{(x^{2}+y^{2})-x^{2}} + =-\sqrt{y^{2}} + =-|y|=y$. + \end{kompaktenum} + + Darum gilt in allen Fällen + $r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector} + =\begin{svector}r\cos(\alpha)\\r\sin(\alpha)\\\end{svector} + =\begin{svector}x\\y\\\end{svector} + =z$. + + Zur {\bfseries Eindeutigkeit}: + Seien $r_{i}\in(0,\infty)$, $\alpha_{i}\in[0,2\pi)$ + mit + $r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}=z$ + für $i\in\{1,2\}$. + \textbf{Zu zeigen:} $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rclcl} + r_{1}^{2} &= &r_{1}^{2}(\cos^{2}(\alpha_{1}) + \sin^{2}(\alpha_{1}))\\ + &= &(r_{1}\cos(\alpha_{1}))^{2} + (r_{1}\sin(\alpha_{1}))^{2}\\ + &= &x^{2}+y^{2}\\ + &= &(r_{2}\cos(\alpha_{2}))^{2} + (r_{2}\sin(\alpha))^{2}\\ + &= &r_{2}^{2}(\cos^{2}(\alpha_{2}) + \sin^{2}(\alpha_{2})) + &= &r_{2}^{2},\\ + \end{mathe} + + woraus sich ergibt, dass $r_{1}=r_{2}$, weil $r_{1},r_{2}\geq 0$. + Da $r_{1},r_{2}>0$, folgt + + \begin{mathe}[mc]{ccccccccccl} + \cos(\alpha_{1}) + &= &\frac{r_{1}\cos(\alpha_{1})}{r_{1}} + &= &\frac{x}{r_{1}} + &= &\frac{x}{r_{2}} + &= &\frac{r_{2}\cos(\alpha_{2})}{r_{2}} + &= &\cos(\alpha_{2})\\ + \sin(\alpha_{1}) + &= &\frac{r_{1}\sin(\alpha_{1})}{r_{1}} + &= &\frac{y}{r_{1}} + &= &\frac{y}{r_{2}} + &= &\frac{r_{2}\sin(\alpha_{2})}{r_{2}} + &= &\sin(\alpha_{2})\\ + \end{mathe} + + Da $\alpha_{1},\alpha_{2}\in[0,2\pi)$ und wegen Injektivität von $\cos$ + auf $[0,\pi)$ und $[\pi,2\pi)$ und der Symmetrie um $\pi$, + erhalten wir aus + $\cos(\alpha_{1})=\cos(\alpha_{2})$, + dass (i)~$\alpha_{1}=\alpha_{2}$ oder (ii)~$\alpha_{1}=2\pi-\alpha_{2}$ + gelten muss.\\ + Falls (ii) gilt, + so gilt $\sin(\alpha_{1})=\sin(2\pi-\alpha_{2})=-\sin(\alpha_{2})$. + Da aber $\sin(\alpha_{1})=\sin(\alpha_{2})$, + folgt daraus $\sin(\alpha_{2})=0$, + und damit (iii)~$\alpha_{2}=0$ oder (iv)~$\pi$. + Falls (iii) gilt, so gilt wegen (ii) $\alpha_{1}=2\pi-0=2\pi$, + was ein Widerspruch ist, weil $\alpha_{1}\in[0,2\pi)$. + Darum muss (iv) gelten. + Wegen (ii) gilt also $\alpha_{1}=2\pi-\pi=\pi=\alpha_{2}$.\\ + Zusammegefasst gilt entweder (i) $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ + oder (ii), aus dem sich (iv) ergibt, was wiederum $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ zur Folge hat. + D.\,h., in allen Fällen gilt $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. + + Darum gelten $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. + Also ist die Darstellung eindeutig. + \end{proof} + + %% AUFGABE 6-2b + \item + \begin{claim*} + Seien $z_{1},z_{2}\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen + $z_{i}=r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}$ + für $i\in\{1,2\}$. + Dann gilt die Rechenregel + $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}$. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Multiplikation in $\kmplx$ liefert + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + z_{1}z_{2} + &= &\begin{svector}\ReTeil(z_{1})\ReTeil(z_{2})-\ImTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})+\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector}r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\cos(\alpha_{2})-r_{1}\sin(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})+r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ + &= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})-\sin(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})+\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ + &= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + Die letzte Vereinfachung folgt aus der trigonometrischen Additionsregel. + \end{proof} + %% AUFGABE 6-2c + \item + \begin{claim*}[de Moivre] + Sei $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen + $z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$. + Dann gilt die Potenzregel + $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$ + für alle $n\in\ntrlpos$. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Wir beweisen dies per Induktion über $n$. + + \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}] + Die Gleichung gilt offensichtlich für $n=1$. + + \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}] + Sei $n>1$. Angenommen, $z^{n-1}=r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}$. + + \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}] + \textbf{Zu zeigen:} $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$.\\ + Per rekursive Definition vom Potenzieren + gilt zunächst $z^{n}=z^{n-1}\cdot z$ (Multiplikation innerhalb der Algebra $\kmplx$). + Aufgabe 6-2(b) zur Folge gilt somit + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + z^{n}=z^{n-1}\cdot z + &\textoverset{IV}{=} + &r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector} + \cdot r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}\\ + &\textoverset{2b}{=} + &r^{n-1}r\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha+\alpha)\\\sin((n-1)\alpha+\alpha)\\\end{svector}\\ + &= &r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + Darum gilt die Gleichung für $n$. + \end{kompaktenum} + + Also gilt die Gleichung für alle $n\in\ntrlzero$. + \end{proof} + + \textbf{Bemerkung.} Wir können eigentlich zeigen, dass dies für all $n\in\intgr$ gilt. + Für $n=0$, beachte, dass $z^{0}=1=1+\imageinh 0$, $r^{0}=1$, $\cos(0)=1$ und $\sin(0)=0$. + Für negative Zahlen reicht es aus, $z^{-1}=r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector}$ zu zeigen, + und dann $z^{n}=(z^{-1})^{|n|}$ für $n<0$ zu verwenden. +\end{enumerate} + +%% AUFGABE 6-3 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:6:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + +Es sei $K$ ein Körper und $F:=K\times K$ versehen mit den Operationen ${+,\cdot:F\times F\to F}$, +definiert vermöge + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)+(a',b') &= &(a+a',b+b')\\ + (a,b)\cdot (a',b') &= &(aa'-bb',ab'+a'b)\\ + \end{mathe} + +für alle $a,b,a',b'\in K$. +Wir beobachten zuerst folgendes Ergebnis. + +\begin{claim} + \makelabel{claim:1:ueb:6:ex:3} + $(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper, + wenn in der Teilstruktur $(F,\cdot)$ multiplikative Inverse existieren für jedes Element. +\end{claim} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Da die Teilstruktur, $(F,+)$, durch die Produktstruktur $(K,+)\times (K,+)$ gegeben ist, + dessen Faktoren all kommutative Gruppen sind, ist $(F,+)$ eine kommutative Gruppe. + Das heißt, die {\bfseries Additionsaxiome} unter den Körperaxiomen sind allesamt erfüllt. + (Insbesondere ist das Nullelement durch $0_{F}=(0,0)$ gegeben.) + + Bei den {\bfseries Multiplikationsaxiomen} sehen wir dass Kommutativität offensichtlich gilt, + weil die o.\,s. Definitions von Multiplikation in den Argumenten offensichtlich symmetrisch ist, + und weil die Operationen in $K$ kommutativ sind. + Es gilt auch $(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot 1-b\cdot 0,a\cdot 0+1\cdot b)=(a,b)$, + sodass $1_{F}:=(1,0)$ das Einselement von $F$ ist. + Assoziativität von Multiplikation ist auch erfüllt, weil + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b'')) + &= &(a,b)\cdot(a'a''-b'b'', a'b''+a''b')\\ + &= &(a(a'a''-b'b'')-b(a'b''+a''b'), a(a'b''+a''b')+(a'a''-b'b'')b)\\ + &= &(aa'a'' - ab'b'' - ba'b'' - ba''b', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - b'b''b)\\ + &= &\boxed{(aa'a'' - ab'b'' - a'bb'' - a''bb', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - bb'b'')}\\ + \end{mathe} + + und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + ((a,b)\cdot(a',b'))\cdot(a'',b'') + &= &(aa'-bb',ab'+a'b)\cdot(a'',b'')\\ + &= &((aa'-bb')a'' - (ab'+a'b)b'', (aa'-bb')b'' + a''(ab'+a'b))\\ + &= &(aa'a'' - bb'a'' - ab'b'' - a'bb'', aa'b'' - bb'b'' + a''ab' + a''a'b)\\ + &= &\boxed{(aa'a'' - ab'b'' - a'bb'' - a''bb', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - bb'b'')}\\ + &= &(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b'')) + \end{mathe} + + für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$. + Darum ist $(F,\cdot)$ assoziativ, kommutativ, und hat ein Neutralelement. + + Wegen Kommutativität von Multiplikation in $F$, ist {\bfseries Distributitivität} + zu Linksdistributivität äquivalent, und da + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\cdot((a',b')+(a'',b'')) + &= &(a,b)\cdot(a'+a'',b'+b'')\\ + &= &(a(a'+a'')-b(b'+b''), a(b'+b'')+(a'+a'')b)\\ + &= &((aa'-bb')+(aa''-bb''), (ab'+a'b)+(ab''+a''b))\\ + &= &(aa'-bb',ab'+a'b)+(aa''-bb'', ab''+a''b)\\ + &= &(a,b)\cdot(a',b')+(a,b)/cdot (a'',b'')\\ + \end{mathe} + + für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$, ist dies erfüllt. + + Anhand der o.\,s. Erkenntnisse darüber, welchen Axiomen $(F,+,\cdot)$ bereits genügt, + erhalten wir, dass $(F,+,\cdot)$ genau dann ein Körper, wenn in $(F,\cdot)$ jedes Element ein Inverses hat. + \end{proof} + \end{einzug} + +Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass wir uns der Existenz multiplikativer Inverser widmen müssen. +Sei also $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig und sei $(a',b')\in F$. +Dann + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:0:ueb:6:ex3] + (a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} + &\Longleftrightarrow + &(a,b)\cdot(a',b') = (1,0)\\ + &\Longleftrightarrow + &(aa'-bb',ab'+a'b) = (1,0)\\ + &\Longleftrightarrow + &aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'+a'b=0\\ + &\Longleftrightarrow + &aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b.\\ + \end{mathe} + +Da $(a,b)\neq 0_{F}=(0,0)$ gibt es folgende Fälle + + \begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab] + %% FALL 1 + \item + $a=0$, $b\in K\ohne\{0\}$. + Dann ist $b$ invertierbar (innerhalb $K$) und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} + &\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow} + &0a'-bb'=1\,\text{und}\,0b'=-a'b\\ + &\Longleftrightarrow + &b'=-b^{-1}\,\text{und}\,a'=-b^{-1}0=0\\ + &\Longleftrightarrow + &(a',b')=(0,-b^{-1}).\\ + \end{mathe} + + Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$. + %% FALL 2 + \item + $b=0$, $a\in K\ohne\{0\}$. + Dann ist $a$ invertierbar (innerhalb $K$) und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} + &\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow} + &aa'-0b'=1\,\text{und}\,ab'=-a'0\\ + &\Longleftrightarrow + &a'=a^{-1}\,\text{und}\,b'=a^{-1}0=0\\ + &\Longleftrightarrow + &(a',b')=(a^{-1},0).\\ + \end{mathe} + + Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$. + %% FALL 2 + \item + $a,b\in K\ohne\{0\}$. + Dann sind $a,b$ invertierbar (innerhalb $K$) und + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} + &\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow} + &aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b\\ + &\Longleftrightarrow + &aa'-bb'=1\,\text{und}\,b'b^{-1}=-a^{-1}a'\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{t\in K:~} + b'b^{-1}=-t + \,\text{und}\, + a^{-1}a'=t + \,\text{und}\, + aa'-bb'=1\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{t\in K\ohne\{0\}:~} + b'=-tb + \,\text{und}\, + a'=at + \,\text{und}\, + a(at)-b(-tb)=1\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{t\in K\ohne\{0\}:~} + (a',b')=(ta,-tb) + \,\text{und}\, + t(a^{2}+b^{2})=1\\ + &\Longleftrightarrow + &a^{2}+b^{2}\,\text{invertierbar} + \,\text{und}\, + (a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b)\\ + &\Longleftrightarrow + &a^{2}+b^{2}\neq 0\,\text{und}\,(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b).\\ + \end{mathe} + + Folglich existiert dann ein Inverses, wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$. + \end{kompaktenum} + +Beachte, dass im Fall 1, $a^{2}+b^{2}=b^{2}\neq 0$ und im Fall 2 $a^{2}+b^{2}=a^{2}\neq 0$. +Darum können wir diese Fälle zusammenfassen als +$(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ hat genau dann ein multiplikatives Inverse, +wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$. +Angesichts \Cref{claim:1:ueb:6:ex:3} haben wir darum bewiesen: + +\begin{satz} + \makelabel{satz:1:ueb:6:ex:3} + $(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper, + wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K$ + für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$. +\end{satz} + +Wir können dieses allgemeine klassifizierende Resultat verwenden, +um die Aufgaben zu behandeln. + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 6-3a + \item + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim*} + Sei $K=\mathbf{F}_{2}=\intgr/2\intgr$. + Dann ist $(F,+,\cdot)$ kein Körper. + \end{claim*} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Da $(a,b):=(1,1)\in F\ohne\{(0,0)\}$ + und + $a^{2}+b^{2}=1+1=0$ + innerhalb $K=\intgr/2\intgr$, + ist \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zufolge $F$ kein Körper. + Es scheitert genau das Axiom der Existenz multiplikativer Inverser. + (Nichtsdestotrotz bildet $F$ einen kommutativen Ring mit Einselement.) + \end{proof} + + %% AUFGABE 6-3b + \item + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim*} + Sei $K=\mathbf{F}_{3}=\intgr/3\intgr$. + Dann ist $(F,+,\cdot)$ ein Körper. + \end{claim*} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Laut \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} reicht es aus + für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ + \textbf{zu zeigen}, dass $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K=\intgr/3\intgr$. + Sei also $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ beliebig. + Da $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ gibt es folgende Fälle: + + \begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab] + %% FALL 1 + \item $a=0$, $b\neq 0$. Dann $b=\pm 1\mod 3$. + Also $a^{2}+b^{2}=0+1=1\nequiv 0\mod 3$. + %% FALL 2 + \item $a\neq 0$, $b=0$. Dann $a=\pm 1\mod 3$. + Also $a^{2}+b^{2}=1+0=1\nequiv 0\mod 3$. + %% FALL 3 + \item $a\neq 0$, $b\neq 0$. Dann $a,b=\pm 1\mod 3$. + Also $a^{2}+b^{2}=1+1=2\nequiv 0\mod 3$. + \end{kompaktenum} + + Also gilt in jedem Falle $a^{2}+b^{2}\neq 0$. + Darum bildet $F$ einen Körper. + \end{proof} +\end{enumerate} + \setcounternach{part}{2} \part{Selbstkontrollenaufgaben} \def\chaptername{SKA Blatt} -%% ******************************************************************************** -%% FILE: body/ska/ska1.tex -%% ******************************************************************************** - -%% ******************************************************************************** -%% FILE: body/ska/ska2.tex -%% ******************************************************************************** - -%% ******************************************************************************** -%% FILE: body/ska/ska3.tex -%% ******************************************************************************** - %% ******************************************************************************** %% FILE: body/ska/ska4.tex %% ******************************************************************************** diff --git a/notes/berechnungen_wk7.md b/notes/berechnungen_wk7.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/protocol/README.md b/protocol/README.md index 1351c3c..035e463 100644 --- a/protocol/README.md +++ b/protocol/README.md @@ -12,6 +12,7 @@ Jede Woche werden Anmerkungen in Markdown-Dateien hier festgehalten: - Woche 4: [/protocol/woche4/README.md](./woche4). - Woche 5: [/protocol/woche5/README.md](./woche5). - Woche 6: [/protocol/woche6/README.md](./woche6). +- Woche 7: [/protocol/woche7/README.md](./woche7). ## Übungsgruppen ### diff --git a/protocol/woche6/README.md b/protocol/woche6/README.md index a67b2e8..cbf41a6 100644 --- a/protocol/woche6/README.md +++ b/protocol/woche6/README.md @@ -2,12 +2,12 @@ ## Ablauf ## -- ( ) allgemeine Ankündigungen +- (√) allgemeine Ankündigungen - Fortschritt mit dem VL-Stoff? - Bewältigung von Aufgaben? - TeX / Markdown - Collaborationstool: -- ( ) SKA 6 +- (√) SKA 6 - Breakout-Rooms (10min) - Gruppe 1: 1 - Gruppe 2: 2 + *3 @@ -16,4 +16,4 @@ - Gruppe 5: 7[a, b, *c, *d] - Präsentationen (5 x 2–3 ≈ 15min) - Gruppendiskussion (~ 15min) -- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) +- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) diff --git a/protocol/woche7/README.md b/protocol/woche7/README.md index e69de29..b0db07e 100644 --- a/protocol/woche7/README.md +++ b/protocol/woche7/README.md @@ -0,0 +1,9 @@ +## Woche 7 (KW 50, 7.–13.12.) ## + +## Ablauf ## + +- ( ) allgemeine Ankündigungen + - Berechnungen —> Beweise? +- ( ) ÜB5 ? +- ( ) SKA 7 +- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) diff --git a/protocol/woche8/README.md b/protocol/woche8/README.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29