From 785932080f45dcffc1473d7b8c4707f3ef40cc4a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 13 Jan 2021 14:50:39 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Woche 10 --- notes/berechnungen_wk10.md | 122 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ protocol/woche10/README.md | 16 ++--- 2 files changed, 131 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk10.md b/notes/berechnungen_wk10.md index b92e2c1..b44bf9e 100644 --- a/notes/berechnungen_wk10.md +++ b/notes/berechnungen_wk10.md @@ -2,6 +2,7 @@ U = lin{u1, u2} V = lin{v1, v2, v3} + ### U ⊆ V ? ### #### Beispiel 1 #### @@ -13,6 +14,14 @@ v1 = (4 0 0 0)ᵀ v2 = (1 4 0 0)ᵀ v3 = (1 0 1 0)ᵀ +Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} + +Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) +---> auf Zeilenstufenform reduzieren +---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. +---> ja +---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} + #### Beispiel 2 #### u1 = (1 1 0 1)ᵀ @@ -22,7 +31,120 @@ v1 = (4 0 0 0)ᵀ v2 = (1 4 0 0)ᵀ v3 = (1 0 1 0)ᵀ +Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) +---> auf Zeilenstufenform reduzieren +---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. +---> nein +---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} ### Basis von V/U ### --> Beispiel 1. + +u1 = (1 1 0 0)ᵀ +u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + +v1 = (4 0 0 0)ᵀ +v2 = (1 0 1 0)ᵀ +v3 = (1 4 0 0)ᵀ + +Schreibweise für Äquivalenzklassen: + [v] = v + U +--> die Elemente in V/U + +Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) +---> auf Zeilenstufenform reduzieren +---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind + ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen +---> + x3, x5 sind frei + x1, x2, x4 nicht frei +---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis + + +## SKA 9-5 ## + +Basis für U: +u1 = (1 1 0)ᵀ +u2 = (0 1 1)ᵀ +Basis für V = ℝ^3: +v1 = (1 0 0)ᵀ +v2 = (0 1 0)ᵀ +v3 = (0 0 1)ᵀ + +A = (u1, u2, v1, v2, v3) +---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei +---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } + und dim(V/U) = 1 + + Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) + v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U + + + +## UB9-2 (Bsp) ## + +Seien + +v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ +v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ +v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ + +φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 +sei linear mit + φ(e_i) = v_i für alle i + +1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 + φ(x1,x2,x3) + = φ(x) + = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) + = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) + = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) + = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 + = Ax +wobei A = (v1 v2 v3) + = 1 0 -3 + 0 1 0 + 0 0 0 + 4 8 0 + 1 0 1 +Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). +Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität +von φ zu klassifizieren: +---> A in Zeilenstufenform: + 1 0 -3 + 0 1 0 + 0 0 0 + 0 0 12 + 0 0 4 + Rang(A) = 3 +---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 + Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv + Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv + m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv + + + +## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ## + +ZZ ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} + +(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. +Zz: ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. + +... + +(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. +Zz: ψ◦ϕ injektiv + +Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, +dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}. +Sei x ∈ U beliebig. +Zz: x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0 + + x ∈ Kern(ψ◦ϕ) + <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0 + .. + .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen ! + .. + <===> x = 0 diff --git a/protocol/woche10/README.md b/protocol/woche10/README.md index fe8d140..6b5314a 100644 --- a/protocol/woche10/README.md +++ b/protocol/woche10/README.md @@ -5,7 +5,7 @@ Das Material aus _Woche 9_ ist aber für diese Woche noch relevant. ## Ablauf ## -- ( ) allgemeine Ankündigungen +- (√) allgemeine Ankündigungen - Antwort auf Frage vom Prof über Argumentation (Berechnungen vs. Worte) - Semesterende: - Klausur in letzter Vorlesungswoche, Freitag den 12.02.2021 um 12:00–14:00. Organisatorisch genauso wie Hausaufgaben: @@ -16,9 +16,11 @@ Das Material aus _Woche 9_ ist aber für diese Woche noch relevant. In letzter Woche Zeit in Übung zur Besprechung der Klausur. - SKA 12 wird trotzdem veröffentlicht. - Übrig gebliebene Themen: 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4. Koordinatenwechsel --> Sommersemester. -- ( ) Fragen zu ÜB8 -- ( ) Fragen zu SKA 8 -- ( ) Fragen zu SKA 9 - - Bsp. -- ( ) ÜB9 / Hinweise -- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) +- (√) Fragen zu ÜB8 +- ~~( ) Fragen zu SKA 8~~ +- (√) Fragen zu SKA 9 (9-5) +- (√) ÜB9 / Hinweise +- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) + - Verwendung von Sätzen/Lemmate bei Aufgaben + - Faktorräume + - Rang