From 7cf36a70a4d151f0f2655cd6cadff525e3741e5f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 10 Feb 2021 15:37:45 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?master=20>=20master:=20Berechnungen=20Woche=201?= =?UTF-8?q?3=20=C3=BCberarbeitet?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- notes/berechnungen_wk13.md | 61 ++++++++++++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 46 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk13.md b/notes/berechnungen_wk13.md index 92acad6..dccd1f3 100644 --- a/notes/berechnungen_wk13.md +++ b/notes/berechnungen_wk13.md @@ -1,35 +1,66 @@ # Woche 13 # +## Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen ## -ℤ/10 +Wir benutzen das Ergebnis -0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -x √ x √ x x x √ x √ + k invertierbar in ℤ/n + ⟺ ggT(k, n) = 1 + ⟺ k, n teilerfremd + +### Beispiel 1. ### + +In ℤ/10: + + k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √ invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}. -k invertierbar in ℤ/n -⟺ ggT(k, n) = 1 -⟺ k, n teilerfremd +### Beispiel 2. ### -TODO: Inverse von Zahl modulo p +In ℤ/p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren +und wir beachten + +- 0 hat kein Inverses +- 1 invertiert sich selbst +- für jedes x ≠ 0 + - x invertiert sich selbst, oder + - ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren. ℤ/2 -0 1 -- 1 + k | 0 1 + k¯¹ | - 1 ℤ/3 -0 1 2 -- 1 2 + k | 0 1 2 + k¯¹ | - 1 2 ℤ/5 -0 1 2 3 4 -- 1 3 2 4 + k | 0 1 2 3 4 + k¯¹ | - 1 3 2 4 ℤ/7 -0 1 2 3 4 5 6 -- 1 4 5 2 3 6 + k | 0 1 2 3 4 5 6 + k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6 + +Den Vorgang des Ausprobieren können wir für +ℤ/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist. +Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten: +- x nicht invertierbar +- x invertiert sich selbst +- x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x). + +ℤ/4 + + k | 0 1 2 3 + k¯¹ | - 1 - 3 + +ℤ/6 + + k | 0 1 2 3 4 5 + k¯¹ | - 1 - - - 5