raj_mathe/linalg2020
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174
notes/berechnungen_wk10.md
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@ -1,127 +1,127 @@
(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## ## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
U = lin{u1, u2} U = lin{u1, u2}
V = lin{v1, v2, v3} V = lin{v1, v2, v3}
### U ⊆ V ? ### ### U ⊆ V ? ###
#### Beispiel 1 #### #### Beispiel 1 ####
u1 = (1 1 0 0)ᵀ u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> ja ---> ja
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
#### Beispiel 2 #### #### Beispiel 2 ####
u1 = (1 1 0 1)ᵀ u1 = (1 1 0 1)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> nein ---> nein
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
### Basis von V/U ### ### Basis von V/U ###
--> Beispiel 1. --> Beispiel 1.
u1 = (1 1 0 0)ᵀ u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 0 1 0)ᵀ v2 = (1 0 1 0)ᵀ
v3 = (1 4 0 0)ᵀ v3 = (1 4 0 0)ᵀ
Schreibweise für Äquivalenzklassen: Schreibweise für Äquivalenzklassen:
[v] = v + U [v] = v + U
--> die Elemente in V/U --> die Elemente in V/U
Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
---> --->
x3, x5 sind frei x3, x5 sind frei
x1, x2, x4 nicht frei x1, x2, x4 nicht frei
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
## SKA 9-5 ## ## SKA 9-5 ##
Basis für U: Basis für U:
u1 = (1 1 0)ᵀ u1 = (1 1 0)ᵀ
u2 = (0 1 1)ᵀ u2 = (0 1 1)ᵀ
Basis für V = ℝ^3: Basis für V = ℝ^3:
v1 = (1 0 0)ᵀ v1 = (1 0 0)ᵀ
v2 = (0 1 0)ᵀ v2 = (0 1 0)ᵀ
v3 = (0 0 1)ᵀ v3 = (0 0 1)ᵀ
A = (u1, u2, v1, v2, v3) A = (u1, u2, v1, v2, v3)
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
und dim(V/U) = 1 und dim(V/U) = 1
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
## UB9-2 (Bsp) ## ## UB9-2 (Bsp) ##
Seien Seien
v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
sei linear mit sei linear mit
φ(e_i) = v_i für alle i φ(e_i) = v_i für alle i
1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
φ(x1,x2,x3) φ(x1,x2,x3)
= φ(x) = φ(x)
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
= Ax = Ax
wobei A = (v1 v2 v3) wobei A = (v1 v2 v3)
= 1 0 -3 = 1 0 -3
0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
4 8 0 4 8 0
1 0 1 1 0 1
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
von φ zu klassifizieren: von φ zu klassifizieren:
---> A in Zeilenstufenform: ---> A in Zeilenstufenform:
1 0 -3 1 0 -3
0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 12 0 0 12
0 0 4 0 0 4
Rang(A) = 3 Rang(A) = 3
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv